北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（3）（word版含参考答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（3）（word版含参考答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 656.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:36:20 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（3）
一、选择题（共10小题）
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
4．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（ ）
A．3米 B．6米 C．3米 D．2米
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ）
A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
二、填空题（共10小题）
11．一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为 米．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝ ．
14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是 m．
15．如果，那么锐角A的度数为 ．
16．计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝ ．
17．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米．（参考数据：sin20°≈0.34）
18．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是 千米．
19．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
20．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣6cos245°．
22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
23．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
24．计算：sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°．
25．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
26．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．
27．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．
28．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
29．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【解答】解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选：A．
3．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，
则∠CBD＝∠CBA＝30°．
∴AC＝BC，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC＝BC＝2×40＝80海里，
∴CD＝BC＝40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．
故选：A．
4．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（ ）
A．3米 B．6米 C．3米 D．2米
【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．
∴．
∴AB＝．
∵∠ACD＝60°．
∴∠BDO＝60°．
在Rt△BDO中，tan60°＝．
∵CD＝6．
∴AB＝＝6．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
由于sinA＝＝，
∴cosB＝＝
故选：B．
6．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵cos2A+sin2A＝1，cosA＝，
∴sin2A＝1﹣＝，
∴sinA＝或sinA＝﹣（舍去）．
故选：B．
7．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ）
A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20
【解答】解：根据题意得：AB＝8米，DE＝20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°，
在Rt△ADE中，AE＝DE＝20米，
∴BE＝AE﹣AB＝20﹣8（米），
在Rt△BCE中，CE＝BE tan45°＝（20﹣8）×1＝20﹣8（米），
∴CD＝CE﹣DE＝20﹣8﹣20＝20﹣28（米）；
故选：C．
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a cosx+b sinx，
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为 米．
【解答】解：如图．
Rt△ABC中，tanA＝，AB＝10．
设BC＝x，则AC＝2x，
∴x2+（2x）2＝102，
解得x＝2（负值舍去）．
即此时小球距离地面的高度为2米．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ 6 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，且BC＝4，
∴AB＝＝＝6，
故答案为：6．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝ ．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是 6 m．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝3米，
∴AB＝＝6米．
故答案为：6．
15．如果，那么锐角A的度数为 30° ．
【解答】解：∵cosA＝，
∴锐角A的度数为30°．
故答案为：30°．
16．计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝ 0 ．
【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，
故答案为：0．
17．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 210 米．（参考数据：sin20°≈0.34）
【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，
∵sinα＝，
∴AE＝AB×sin20°≈68米，
在Rt△BCG中，
∵sinβ＝，
∴BG＝BC×sin45°≈142米，
∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，
故答案为：210
18．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是 3 千米．
【解答】解：作BE⊥AC于E，
在Rt△ABE中，sin∠BAC＝，
∴BE＝AB sin∠BAC＝6×＝3，
由题意得，∠C＝45°，
∴BC＝＝3÷＝3（千米），
故答案为：3．
19．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 9.5 m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为：9.5
20．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．
【解答】解：如图，∵tanA＝＝，
∴设AB＝5x，则BC＝4x，
AC＝3x，
则有：sinA+cosA＝+＝+＝，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣6cos245°．
【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
【解答】解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，
则∠FHE＝60°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG≈2.17（m），
∴FM＝FG+GM≈4.4（米），
答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．
23．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
【解答】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，
∵tan∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝，
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，
∴ED＝CD＝20，
∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．
24．计算：sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°．
【解答】解：原式＝（）2﹣×+1（4分）
＝．（5分）
25．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
【解答】解：（1）延长BA交EF于点G，
在RT△AGE中，∠E＝23°，
∴∠GAE＝67°，
又∠BAC＝38°，
∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝4，cos∠ADC＝，
∴DH＝2，sin∠ADC＝，
∴AH＝2．
在RT△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴AC＝2，CH＝AH＝2．
∴AB＝AC+CD＝2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
26．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．
【解答】解：过点D作DF⊥AF于点F，
∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB＝2EG＝30米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．
在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，
∴FD＝AF tanβ＝10×＝10米，
∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．
27．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝，
∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4，
∴，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝．
28．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB＝30×1＝30海里，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，
在Rt△ABD中，
∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，
∴BD＝15海里，AD＝ABcos30°＝15海里，
在Rt△BCD中，
∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，
∴CD＝15海里，BC＝15海里，
∴AC＝AD+CD＝15+15海里，
即A、C间的距离为（15+15）海里．
（2）∵AC＝15+15（海里），
轮船乙从A到C的时间为＝+1，
由B到C的时间为+1﹣1＝，
∵BC＝15海里，
∴轮船甲从B到C的速度为＝5（海里/小时）．
29．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26． 解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD BE＝ AC BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
第1页（共3页）
一、选择题（共10小题）
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
4．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（ ）
A．3米 B．6米 C．3米 D．2米
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ）
A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
二、填空题（共10小题）
11．一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为 米．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝ ．
14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是 m．
15．如果，那么锐角A的度数为 ．
16．计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝ ．
17．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米．（参考数据：sin20°≈0.34）
18．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是 千米．
19．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
20．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣6cos245°．
22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
23．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
24．计算：sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°．
25．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
26．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．
27．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．
28．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
29．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【解答】解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选：A．
3．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，
则∠CBD＝∠CBA＝30°．
∴AC＝BC，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC＝BC＝2×40＝80海里，
∴CD＝BC＝40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．
故选：A．
4．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（ ）
A．3米 B．6米 C．3米 D．2米
【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．
∴．
∴AB＝．
∵∠ACD＝60°．
∴∠BDO＝60°．
在Rt△BDO中，tan60°＝．
∵CD＝6．
∴AB＝＝6．
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
由于sinA＝＝，
∴cosB＝＝
故选：B．
6．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵cos2A+sin2A＝1，cosA＝，
∴sin2A＝1﹣＝，
∴sinA＝或sinA＝﹣（舍去）．
故选：B．
7．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ）
A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20
【解答】解：根据题意得：AB＝8米，DE＝20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°，
在Rt△ADE中，AE＝DE＝20米，
∴BE＝AE﹣AB＝20﹣8（米），
在Rt△BCE中，CE＝BE tan45°＝（20﹣8）×1＝20﹣8（米），
∴CD＝CE﹣DE＝20﹣8﹣20＝20﹣28（米）；
故选：C．
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a cosx+b sinx，
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．一个小球由地面沿着坡度1：2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为 米．
【解答】解：如图．
Rt△ABC中，tanA＝，AB＝10．
设BC＝x，则AC＝2x，
∴x2+（2x）2＝102，
解得x＝2（负值舍去）．
即此时小球距离地面的高度为2米．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ 6 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，且BC＝4，
∴AB＝＝＝6，
故答案为：6．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝ ．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是 6 m．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝3米，
∴AB＝＝6米．
故答案为：6．
15．如果，那么锐角A的度数为 30° ．
【解答】解：∵cosA＝，
∴锐角A的度数为30°．
故答案为：30°．
16．计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝ 0 ．
【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，
故答案为：0．
17．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 210 米．（参考数据：sin20°≈0.34）
【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，
∵sinα＝，
∴AE＝AB×sin20°≈68米，
在Rt△BCG中，
∵sinβ＝，
∴BG＝BC×sin45°≈142米，
∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，
故答案为：210
18．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是 3 千米．
【解答】解：作BE⊥AC于E，
在Rt△ABE中，sin∠BAC＝，
∴BE＝AB sin∠BAC＝6×＝3，
由题意得，∠C＝45°，
∴BC＝＝3÷＝3（千米），
故答案为：3．
19．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 9.5 m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为：9.5
20．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．
【解答】解：如图，∵tanA＝＝，
∴设AB＝5x，则BC＝4x，
AC＝3x，
则有：sinA+cosA＝+＝+＝，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣6cos245°．
【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
【解答】解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，
则∠FHE＝60°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，
∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG≈2.17（m），
∴FM＝FG+GM≈4.4（米），
答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．
23．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
【解答】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，
∵tan∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝，
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，
∴ED＝CD＝20，
∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．
24．计算：sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°．
【解答】解：原式＝（）2﹣×+1（4分）
＝．（5分）
25．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
【解答】解：（1）延长BA交EF于点G，
在RT△AGE中，∠E＝23°，
∴∠GAE＝67°，
又∠BAC＝38°，
∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝4，cos∠ADC＝，
∴DH＝2，sin∠ADC＝，
∴AH＝2．
在RT△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴AC＝2，CH＝AH＝2．
∴AB＝AC+CD＝2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
26．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．
【解答】解：过点D作DF⊥AF于点F，
∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB＝2EG＝30米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．
在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，
∴FD＝AF tanβ＝10×＝10米，
∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．
27．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝，
∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4，
∴，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝．
28．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB＝30×1＝30海里，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，
在Rt△ABD中，
∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，
∴BD＝15海里，AD＝ABcos30°＝15海里，
在Rt△BCD中，
∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，
∴CD＝15海里，BC＝15海里，
∴AC＝AD+CD＝15+15海里，
即A、C间的距离为（15+15）海里．
（2）∵AC＝15+15（海里），
轮船乙从A到C的时间为＝+1，
由B到C的时间为+1﹣1＝，
∵BC＝15海里，
∴轮船甲从B到C的速度为＝5（海里/小时）．
29．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26． 解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD BE＝ AC BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
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