北师大新版九年级（下）《第1章+直角三角形的边角关系》常考题套卷（5）（word版含参考答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第1章+直角三角形的边角关系》常考题套卷（5）（word版含参考答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 584.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:37:22 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（5）
一、选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
6．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．±
7．若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
二、填空题（共10小题）
11．已知sinA＝，则锐角∠A＝ ．
12．cos30°＝ ．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 ．
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
16．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为 m．
17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 km．
18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．
19．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值 ．
20．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．
22．如图所示，初三数学兴趣小组同学为了测量垂直于水平地面的一座大厦AB的高度，一测量人员在大厦附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了60米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则大厦AB的高度约为多少米？（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，拉杆拉到最长，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
24．计算：．
25．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米（即BB′的高度）？
26．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
27．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
29．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
2．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝75°，
∴＝tan75°，
∴BC＝AC tan75°＝6tan75°（米）．
故选：D．
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，
∵sinB＝，
∴sinA＝＝．
故选：B．
5．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
【解答】解：∵DA＝0.2米，AB＝2米，
∴DB＝DA+AB＝2.2米，
∵光线与地面成80°角，∴∠BCD＝80°．
又∵tan∠BCD＝，
∴DC＝＝．
故选：C．
6．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．±
【解答】解：∵sinαcosα＝，
∴2sinα cosα＝，
∴sin2α+cos2α﹣2sinα cosα＝1﹣，
即（sinα﹣cosα）2＝，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα＝﹣．
故选：B．
7．若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵cosA＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
【解答】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，
∴PC＝PA＝3千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，
∴PB＝＝＝6千米．
∴AB＝6千米．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝＝5，
在Rt△AOB中，cosα＝＝．
故选：C．
10．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，
∵sinα＝＝，
∴BC＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．已知sinA＝，则锐角∠A＝ 30° ．
【解答】解：∵sinA＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
12．cos30°＝ ．
【解答】解：cos30°＝．
故答案为：．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
【解答】解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 10 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6．
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10．
故答案为：10．
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解答】解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝6m，
∴sin70°＝＝≈0.94，
解得：AO＝5.64（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝6m，
∴sin50°＝≈0.77，
解得：CO＝4.62（m），
则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
16．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为 100 m．
【解答】解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝（m）．
故答案为：100．
17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 3 km．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，
∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝6，
∴AD＝OA＝3．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，
∴BD＝AD＝3，
∴AB＝AD＝3．即该船航行的距离（即AB的长）为3km．
故答案为：3．
18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．
【解答】解：连接AC，
由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AC＝，AB＝2，
则tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
19．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值 ．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴＝＝＝，
∴CE＝x，DE＝x，
∴AE＝，
∴tan∠CAD＝＝，
故答案为．
20．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．
【解答】解：原式＝+3×﹣（）2
＝+3﹣
＝3．
22．如图所示，初三数学兴趣小组同学为了测量垂直于水平地面的一座大厦AB的高度，一测量人员在大厦附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了60米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则大厦AB的高度约为多少米？（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：设AB＝x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝x米，
则BD＝BC+CD＝x+60（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，
∴tan∠ADB＝＝，即＝，
解得：x＝30+30≈82（米），
即大厦AB的高度约为82米
23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，拉杆拉到最长，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【解答】解：（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H．
则BG∥CF，△ABG∽△ACF．
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．
则＝，即＝，
解得：x＝8．
则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；
（2）CF＝73.5﹣8＝65.5（Cm）．
则sin∠CAF＝＝≈0.77，
则∠CAF＝50°．
24．计算：．
【解答】解：原式＝×1+×+×
＝+1+
＝3．
25．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米（即BB′的高度）？
【解答】解：在Rt△ABC中，sin45°＝，
∴BC＝AB sin45°得到BC＝30米．
在Rt△A′B′C中，sin60°＝，
∴B′C＝A′B′ sin60°＝30米．
∴B′B＝30（﹣）米．
26．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
∴CD＝AC sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，
∴BC＝CD＝20≈49（cm），
答：支架BC的长约为49cm．
27．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
29．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【解答】解：（1）如图，
在Rt△ABM中，AM＝ABsin45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4（米）．
即新传送带AC的长度约为4米；
（2）结论：货物DEFG不用挪走．
解：在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，CM＝AM＝2（米）．
∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2.08（米）．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92（米）＞2（米），
∴货物DEFG不应挪走．
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
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一、选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
6．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．±
7．若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
二、填空题（共10小题）
11．已知sinA＝，则锐角∠A＝ ．
12．cos30°＝ ．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 ．
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
16．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为 m．
17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 km．
18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．
19．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值 ．
20．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．
22．如图所示，初三数学兴趣小组同学为了测量垂直于水平地面的一座大厦AB的高度，一测量人员在大厦附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了60米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则大厦AB的高度约为多少米？（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，拉杆拉到最长，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
24．计算：．
25．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米（即BB′的高度）？
26．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
27．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
29．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
2．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（ ）
A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30°
【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝75°，
∴＝tan75°，
∴BC＝AC tan75°＝6tan75°（米）．
故选：D．
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，
∵sinB＝，
∴sinA＝＝．
故选：B．
5．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
【解答】解：∵DA＝0.2米，AB＝2米，
∴DB＝DA+AB＝2.2米，
∵光线与地面成80°角，∴∠BCD＝80°．
又∵tan∠BCD＝，
∴DC＝＝．
故选：C．
6．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．±
【解答】解：∵sinαcosα＝，
∴2sinα cosα＝，
∴sin2α+cos2α﹣2sinα cosα＝1﹣，
即（sinα﹣cosα）2＝，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα＝﹣．
故选：B．
7．若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵cosA＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
【解答】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，
∴PC＝PA＝3千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，
∴PB＝＝＝6千米．
∴AB＝6千米．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝＝5，
在Rt△AOB中，cosα＝＝．
故选：C．
10．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，
∵sinα＝＝，
∴BC＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．已知sinA＝，则锐角∠A＝ 30° ．
【解答】解：∵sinA＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
12．cos30°＝ ．
【解答】解：cos30°＝．
故答案为：．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．
【解答】解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是 10 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6．
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10．
故答案为：10．
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解答】解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝6m，
∴sin70°＝＝≈0.94，
解得：AO＝5.64（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝6m，
∴sin50°＝≈0.77，
解得：CO＝4.62（m），
则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
16．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为 100 m．
【解答】解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝（m）．
故答案为：100．
17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 3 km．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，
∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝6，
∴AD＝OA＝3．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，
∴BD＝AD＝3，
∴AB＝AD＝3．即该船航行的距离（即AB的长）为3km．
故答案为：3．
18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．
【解答】解：连接AC，
由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AC＝，AB＝2，
则tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
19．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值 ．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴＝＝＝，
∴CE＝x，DE＝x，
∴AE＝，
∴tan∠CAD＝＝，
故答案为．
20．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．
【解答】解：原式＝+3×﹣（）2
＝+3﹣
＝3．
22．如图所示，初三数学兴趣小组同学为了测量垂直于水平地面的一座大厦AB的高度，一测量人员在大厦附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了60米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则大厦AB的高度约为多少米？（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：设AB＝x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝x米，
则BD＝BC+CD＝x+60（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，
∴tan∠ADB＝＝，即＝，
解得：x＝30+30≈82（米），
即大厦AB的高度约为82米
23．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，拉杆拉到最长，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【解答】解：（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H．
则BG∥CF，△ABG∽△ACF．
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．
则＝，即＝，
解得：x＝8．
则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；
（2）CF＝73.5﹣8＝65.5（Cm）．
则sin∠CAF＝＝≈0.77，
则∠CAF＝50°．
24．计算：．
【解答】解：原式＝×1+×+×
＝+1+
＝3．
25．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米（即BB′的高度）？
【解答】解：在Rt△ABC中，sin45°＝，
∴BC＝AB sin45°得到BC＝30米．
在Rt△A′B′C中，sin60°＝，
∴B′C＝A′B′ sin60°＝30米．
∴B′B＝30（﹣）米．
26．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
∴CD＝AC sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，
∴BC＝CD＝20≈49（cm），
答：支架BC的长约为49cm．
27．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
29．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【解答】解：（1）如图，
在Rt△ABM中，AM＝ABsin45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4（米）．
即新传送带AC的长度约为4米；
（2）结论：货物DEFG不用挪走．
解：在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，CM＝AM＝2（米）．
∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2.08（米）．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92（米）＞2（米），
∴货物DEFG不应挪走．
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
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