北师大新版九年级（下）《第1章+直角三角形的边角关系》常考题套卷（4）（word版含参考答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第1章+直角三角形的边角关系》常考题套卷（4）（word版含参考答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 989.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:35:11 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（4）
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
3．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
8．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．8 B．9 C．6 D．7
9．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题（共10小题）
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是 ．
12．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 ．
13．计算：sin45°＝ ．
14．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六 一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是 米．
15．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是 ．
16．sin245°+cos60°＝ ．
17．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 ．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．
19．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 米．
20．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）．
三、解答题（共10小题）
21．计算：6tan230°﹣cos30° tan60°﹣2sin45°+cos60°．
22．如图，李明在大楼27米高（即PH＝27米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角∠QPA＝15°，山脚B处的俯角∠QPB＝60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度；
（2）求AB的长（结果保留根号）．
23．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．
24．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．
25．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
26．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
27．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
28．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
29．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
30．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求港口A到海岛B的距离；
（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinB＝＝．
故选：D．
2．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【解答】解：sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
3．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
【解答】解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选：D．
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
【解答】解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
∠A+∠B＝90°，
cosB＝sinA＝，
故选：D．
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵cosA＝＝
∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，
∴sinA＝＝，
故选：A．
7．∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：∵∠A为锐角，cosA＝，
∴∠A＝60°．
故选：B．
8．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．8 B．9 C．6 D．7
【解答】解：∵∠MAB＝45°，BM＝10km，
∴AB＝＝＝20（km），
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
如图所示，在Rt△ADB中，∠BAD＝∠MAC﹣∠MAB＝75°﹣45°＝30°，
tan∠BAD＝＝，
∴AD＝BD，
BD2+AD2＝AB2，即BD2+（BD）2＝202，
∴BD＝10km，
∴AD＝10km，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，BC＝4km，
∴CD＝2km，
∴AC＝AD﹣CD＝10﹣2＝8（km），
∴此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km．
故选：A．
9．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
10．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【解答】解：如图，∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∵∠ECB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD＝1．
∵sin∠A＝，
∴＝＝AB，
∴S△ABC＝×AB×CD＝，
∴折叠后重叠部分的面积为cm2．
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是 ．
【解答】解：∵在直角△COD中，OD＝1，CD＝2，
∴OC＝，
∴cos∠AOB＝＝．
12．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 m ．
【解答】解：如图．AC＝8米，BC：AB＝1：1．
设BC＝x米，则AB＝x米．
在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，
即x2+x2＝82，
解得x＝4，
即BC＝4米．
故上升高度是4米．
故答案为：4．
13．计算：sin45°＝ ．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．
14．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六 一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是 米．
【解答】解：由题意知，AC：BC＝1；2，且AC＝2，故BC＝4．
在Rt△ABC中，，
即滑梯AB的长度为米．
15．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是 ．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，
所以sinA＝＝，
而BC＝2，
所以AB＝3，
所以AC＝＝．
故答案为．
16．sin245°+cos60°＝ 1 ．
【解答】解：原式＝（）2+
＝+
＝1．
故答案为：1．
17．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 75或25 ．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD＝AB sinB＝10，BD＝AB cosB＝10；
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，
∴CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，
∴S△ABC＝BC AD＝75或25．
故答案为：75或25．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 （2+）km ．
【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD＝45°，AD＝DC，
∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，
∴CE＝AB＝2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝EC＝2km，
∴BD＝ED＝km，
∴CD＝2+（km）．
故答案为：（2+）km．
19．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 160 米．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，
∴BD＝AD tan30°＝120×＝40m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，
∴CD＝AD tan60°＝120×＝120m，
∴BC＝BD+CD＝40+120＝160m．
故答案为：160．
20．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 100（1+） 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点A作AE⊥BM于点E，BF⊥CN于点F，
∵α为30°，β为45°，AB＝BC＝200米，
∴sin30°＝，sin45°＝，
∴AE＝AB sin30°＝100（米），
BF＝BC sin45°＝100（米），
∴他下降的高度为：AE+BF＝100（1+）米．
故答案为：100（1+）．
三、解答题（共10小题）
21．计算：6tan230°﹣cos30° tan60°﹣2sin45°+cos60°．
【解答】解：原式＝．
22．如图，李明在大楼27米高（即PH＝27米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角∠QPA＝15°，山脚B处的俯角∠QPB＝60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 30 度；
（2）求AB的长（结果保留根号）．
【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30；
（2）由题意知过点P的水平线为PQ，∠QPA＝15°，∠QPB＝60°，
∴∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝∠QPB﹣∠QPA＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，
∴∠PAB＝45°，
∴AB＝PB，
∵在Rt△PBH中，PB＝＝＝18，
∴AB＝PB＝，
答：AB的长为18米．
23．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．
【解答】解：在Rt△DAE中，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．
∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，
∴AD＝6，即梯子的总长为6米．
∴AB＝AD＝6．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝3，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，
∴BC＝＝3m，
∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．
24．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．
【解答】解：原式＝3×﹣（）2+﹣2×
＝﹣+2﹣
＝．
25．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
【解答】解：在Rt△DPA中，
∵tan∠DPA＝，
∴AD＝PD tan∠DPA，
在Rt△DPB中，
∵tan∠DPB＝，
∴BD＝PD tan∠DPB，
∴AB＝BD﹣AD＝PD （tan∠DPB﹣tan∠DPA），
∵AB＝5.6，∠DPB＝53°，∠DPA＝18°，即5.6＝（tan53°﹣tan18°） PD，
∴PD＝＝5.6，
则此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．
26．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
【解答】解：在Rt△ADC中，
∵，CD＝100米，
∴AD＝tan30° CD＝（米），
在Rt△BDC中，
∵，CD＝100米，
∴BD＝tan20° CD≈0.36×100＝36（米），
∴AB＝57.7+36＝93.7（米）．
27．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30 ，
∴AE＝BE＝AB＝30，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10，
∴AC＝AE+CE＝30+10 ，
∴A，C两港之间的距离为（30+10 ）km．
28．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cosC＝＝，AC＝，
∴CH＝1，AH＝＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝＝，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．
∴∠ADC的正弦值为．
29．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
【解答】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα＝，
∴α＝30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，
∴tan∠CAD＝，
解得，AD＝6米，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
30．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求港口A到海岛B的距离；
（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝，BC＝2x
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°
则AD＝BD＝，AB＝BD＝
由AC+CD＝AD得20+x＝x
解得：x＝10+10
故AB＝30+10
答：港口A到海岛B的距离为海里．
（2）甲船看见灯塔所用时间：小时
乙船看见灯塔所用时间：小时
所以乙船先看见灯塔．
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一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
3．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
8．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．8 B．9 C．6 D．7
9．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题（共10小题）
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是 ．
12．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 ．
13．计算：sin45°＝ ．
14．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六 一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是 米．
15．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是 ．
16．sin245°+cos60°＝ ．
17．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 ．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．
19．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 米．
20．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）．
三、解答题（共10小题）
21．计算：6tan230°﹣cos30° tan60°﹣2sin45°+cos60°．
22．如图，李明在大楼27米高（即PH＝27米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角∠QPA＝15°，山脚B处的俯角∠QPB＝60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度；
（2）求AB的长（结果保留根号）．
23．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．
24．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．
25．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
26．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
27．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
28．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
29．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
30．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求港口A到海岛B的距离；
（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？
北师大新版九年级（下）《第1章 直角三角形的边角关系》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinB＝＝．
故选：D．
2．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【解答】解：sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
3．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．米
【解答】解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选：D．
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
【解答】解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
∠A+∠B＝90°，
cosB＝sinA＝，
故选：D．
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵cosA＝＝
∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，
∴sinA＝＝，
故选：A．
7．∠A为锐角，若cosA＝，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：∵∠A为锐角，cosA＝，
∴∠A＝60°．
故选：B．
8．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．8 B．9 C．6 D．7
【解答】解：∵∠MAB＝45°，BM＝10km，
∴AB＝＝＝20（km），
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
如图所示，在Rt△ADB中，∠BAD＝∠MAC﹣∠MAB＝75°﹣45°＝30°，
tan∠BAD＝＝，
∴AD＝BD，
BD2+AD2＝AB2，即BD2+（BD）2＝202，
∴BD＝10km，
∴AD＝10km，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，BC＝4km，
∴CD＝2km，
∴AC＝AD﹣CD＝10﹣2＝8（km），
∴此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km．
故选：A．
9．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
10．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【解答】解：如图，∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∵∠ECB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD＝1．
∵sin∠A＝，
∴＝＝AB，
∴S△ABC＝×AB×CD＝，
∴折叠后重叠部分的面积为cm2．
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是 ．
【解答】解：∵在直角△COD中，OD＝1，CD＝2，
∴OC＝，
∴cos∠AOB＝＝．
12．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 m ．
【解答】解：如图．AC＝8米，BC：AB＝1：1．
设BC＝x米，则AB＝x米．
在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，
即x2+x2＝82，
解得x＝4，
即BC＝4米．
故上升高度是4米．
故答案为：4．
13．计算：sin45°＝ ．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．
14．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六 一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是 米．
【解答】解：由题意知，AC：BC＝1；2，且AC＝2，故BC＝4．
在Rt△ABC中，，
即滑梯AB的长度为米．
15．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是 ．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，
所以sinA＝＝，
而BC＝2，
所以AB＝3，
所以AC＝＝．
故答案为．
16．sin245°+cos60°＝ 1 ．
【解答】解：原式＝（）2+
＝+
＝1．
故答案为：1．
17．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 75或25 ．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD＝AB sinB＝10，BD＝AB cosB＝10；
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，
∴CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，
∴S△ABC＝BC AD＝75或25．
故答案为：75或25．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 （2+）km ．
【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD＝45°，AD＝DC，
∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，
∴CE＝AB＝2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝EC＝2km，
∴BD＝ED＝km，
∴CD＝2+（km）．
故答案为：（2+）km．
19．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 160 米．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，
∴BD＝AD tan30°＝120×＝40m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，
∴CD＝AD tan60°＝120×＝120m，
∴BC＝BD+CD＝40+120＝160m．
故答案为：160．
20．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 100（1+） 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点A作AE⊥BM于点E，BF⊥CN于点F，
∵α为30°，β为45°，AB＝BC＝200米，
∴sin30°＝，sin45°＝，
∴AE＝AB sin30°＝100（米），
BF＝BC sin45°＝100（米），
∴他下降的高度为：AE+BF＝100（1+）米．
故答案为：100（1+）．
三、解答题（共10小题）
21．计算：6tan230°﹣cos30° tan60°﹣2sin45°+cos60°．
【解答】解：原式＝．
22．如图，李明在大楼27米高（即PH＝27米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角∠QPA＝15°，山脚B处的俯角∠QPB＝60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 30 度；
（2）求AB的长（结果保留根号）．
【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30；
（2）由题意知过点P的水平线为PQ，∠QPA＝15°，∠QPB＝60°，
∴∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝∠QPB﹣∠QPA＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，
∴∠PAB＝45°，
∴AB＝PB，
∵在Rt△PBH中，PB＝＝＝18，
∴AB＝PB＝，
答：AB的长为18米．
23．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．
【解答】解：在Rt△DAE中，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．
∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，
∴AD＝6，即梯子的总长为6米．
∴AB＝AD＝6．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝3，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，
∴BC＝＝3m，
∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．
24．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．
【解答】解：原式＝3×﹣（）2+﹣2×
＝﹣+2﹣
＝．
25．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
【解答】解：在Rt△DPA中，
∵tan∠DPA＝，
∴AD＝PD tan∠DPA，
在Rt△DPB中，
∵tan∠DPB＝，
∴BD＝PD tan∠DPB，
∴AB＝BD﹣AD＝PD （tan∠DPB﹣tan∠DPA），
∵AB＝5.6，∠DPB＝53°，∠DPA＝18°，即5.6＝（tan53°﹣tan18°） PD，
∴PD＝＝5.6，
则此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．
26．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
【解答】解：在Rt△ADC中，
∵，CD＝100米，
∴AD＝tan30° CD＝（米），
在Rt△BDC中，
∵，CD＝100米，
∴BD＝tan20° CD≈0.36×100＝36（米），
∴AB＝57.7+36＝93.7（米）．
27．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，
求（1）∠C的度数．
（2）A，C两港之间的距离为多少km．
【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30 ，
∴AE＝BE＝AB＝30，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10，
∴AC＝AE+CE＝30+10 ，
∴A，C两港之间的距离为（30+10 ）km．
28．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cosC＝＝，AC＝，
∴CH＝1，AH＝＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝＝，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．
∴∠ADC的正弦值为．
29．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
【解答】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα＝，
∴α＝30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，
∴tan∠CAD＝，
解得，AD＝6米，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
30．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求港口A到海岛B的距离；
（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝，BC＝2x
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°
则AD＝BD＝，AB＝BD＝
由AC+CD＝AD得20+x＝x
解得：x＝10+10
故AB＝30+10
答：港口A到海岛B的距离为海里．
（2）甲船看见灯塔所用时间：小时
乙船看见灯塔所用时间：小时
所以乙船先看见灯塔．
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