北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（1）（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（1）（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 587.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:32:08 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（1）
一、选择题（共10小题）
1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1m B．2m C．3m D．6m
4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
6．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
7．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
8．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：
①AE＝6cm；
②当0＜t≤10时，y＝t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；
④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二、填空题（共10小题）
11．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ．
12．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
13．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为 ．
14．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ．
16．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 ．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是 ．
18．二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是 ．
19．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝ ．
20．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．
22．已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点记为C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
23．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
24．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
27．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．求a的值及点B的坐标．
28．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
29．对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB＝）
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
2．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1m B．2m C．3m D．6m
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
根据AB为4米可知：OA＝OB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【解答】解：作出BC边上的高AD．
∵△ABC是等边三角形，边长为x，
∴CD＝x，
∴高为h＝x，
∴y＝x×h＝x2．
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
6．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
7．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
8．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：
①AE＝6cm；
②当0＜t≤10时，y＝t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；
④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①观察图2可知：
当t＝10时，点P、E重合，点Q、C重合；
当t＝14时，点P、D重合．
∴BE＝BC＝10，DE＝14﹣10＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝6，
∴①正确；
②设抛物线OM的函数解析式为y＝ax2，
将点（10，40）代入y＝ax2中，
得：40＝100a，解得：a＝，
∴当0＜t≤10时，y＝t2，②成立；
③在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，BE＝10，AE＝6，
∴AB＝＝8，
∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），
设直线NH的解析式为y＝kt+b，
∴，解得：，
∴直线NH的解析式为y＝﹣5t+110，③成立；
④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，
△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，
∴当t＝秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．
综上可知：正确的结论有3个．
故选：C．
9．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ﹣6、﹣ ．
【解答】解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
12．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是 3.24＜x＜3.25
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
【解答】解：∵当x＝3.24时，y＝﹣0.02；
当x＝3.25时，y＝0.03；
∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
13．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为 ﹣ ．
【解答】解：根据题意得，m2﹣3＝2，
解得m＝±，
∵开口向上，
∴2﹣m＞0，
解得m＜2，
∴m＝﹣．
故答案为：﹣．
14．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【解答】解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
16．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 y＝x2+6x ．
【解答】解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），
则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．
故应填：y＝x2+6x．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①当x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④对称轴x＝﹣1，则x＝﹣2和x＝0时取值相同，则4a﹣2b+c＝1＞0，错误；
⑤对称轴x＝＝﹣1，b＝2a，又x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，代入b＝2a，则c﹣a＞1，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
18．二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是 （1，﹣2） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
19．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝ 3 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴h＝2，k＝1，
∴h+k＝2+1＝3．
故答案为：3．
20．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 5或 ．
【解答】解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
三、解答题（共10小题）
21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知点A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），
设抛物线解析式为y＝ax2+5，
将点A（﹣5，0）代入，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+5，
当y＝4时，﹣x2+5＝4，
解得：x＝，
则两盏景观灯之间的水平距离2m．
22．已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点记为C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+5x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（3，0）；
∵y＝﹣x2+5x﹣6＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点C的坐标为（，）；
（2）△ABC的面积＝×（3﹣2）×＝．
23．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
【解答】解：（1）由顶点A（﹣1，4），可设函数关系式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），
将点B（2，﹣5）代入解析式得：﹣5＝a（2+1）2+4，
解得：a＝﹣1．
则二次函数的关系式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，
得y＝﹣（0+1）2+4＝3，
故图象与y轴交点坐标为（0，3）．
令y＝0，
得0＝﹣（x+1）2+4，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
故图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A'（2，4），B'（5，﹣5）
∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．
24．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
26．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
27．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．求a的值及点B的坐标．
【解答】解：将点A（﹣4，8）代入抛物线y＝ax2，
可得16a＝8，即a＝，
则y＝x2，
将点B（2，n）代入抛物线y＝x2，
得n＝×22＝2．
28．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
29．对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
【解答】解：①是真命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x，
∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12；
∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝﹣4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣﹣，
∵m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小，
∴﹣﹣≤，得m≥，
∵m＜0与m≥矛盾，
故③为假命题．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB＝）
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴0＝×（﹣3）+m，解得m＝，
∴一次函数解析式为y＝x+，
∴C点坐标为（0，）．
∵以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A（﹣3，0）、C（0，），
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）存在．设Q（x，﹣x2+x+）．
①当点C为直角顶点时，如图，作CQ⊥AC交抛物线于点Q，QE⊥y轴于E．
在△ACO与△CQE中，
，
∴△ACO∽△CQE，
∴＝，即＝，
解得x1＝5.2，x2＝0（不合题意舍去）；
②当点A为直角顶点时，如图，作AQ′⊥AC交抛物线于点Q′，Q′E′⊥x轴于E．
在△ACO与△Q′AE′中，
，
∴△ACO∽△Q′AE′，
∴＝，即＝，
解得x1＝8.2，x2＝﹣3（不合题意舍去）．
综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2；
（3）∵y＝﹣x2+x+与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，对称轴为直线x＝1，
∴B点坐标为（5，0），
∵C（0，），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝1时，y＝﹣×1+＝3，
∴P（1，3）．
设过点P的直线为：y＝kx+3﹣k，
把y＝kx+3﹣k代入y＝﹣x2+x+，
得kx+3﹣k＝﹣x2+x+，
整理得，x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣4k，x1x2＝﹣4k﹣3，y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣4k）2﹣4（﹣4k﹣3）＝16k2+16，
∴M1M2＝＝＝4（1+k2），
同理：M1P＝＝，
M2P＝，
∴M1P M2P＝ ＝|（x1﹣1）（x2﹣1）| （1+k2）＝4（1+k2），
∴＝1为定值．
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一、选择题（共10小题）
1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1m B．2m C．3m D．6m
4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
6．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
7．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
8．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：
①AE＝6cm；
②当0＜t≤10时，y＝t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；
④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二、填空题（共10小题）
11．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ．
12．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
13．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为 ．
14．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ．
16．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 ．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是 ．
18．二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是 ．
19．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝ ．
20．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．
22．已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点记为C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
23．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
24．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
27．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．求a的值及点B的坐标．
28．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
29．对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB＝）
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
2．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1m B．2m C．3m D．6m
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
根据AB为4米可知：OA＝OB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【解答】解：作出BC边上的高AD．
∵△ABC是等边三角形，边长为x，
∴CD＝x，
∴高为h＝x，
∴y＝x×h＝x2．
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
6．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
7．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
8．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：
①AE＝6cm；
②当0＜t≤10时，y＝t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；
④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①观察图2可知：
当t＝10时，点P、E重合，点Q、C重合；
当t＝14时，点P、D重合．
∴BE＝BC＝10，DE＝14﹣10＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝6，
∴①正确；
②设抛物线OM的函数解析式为y＝ax2，
将点（10，40）代入y＝ax2中，
得：40＝100a，解得：a＝，
∴当0＜t≤10时，y＝t2，②成立；
③在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，BE＝10，AE＝6，
∴AB＝＝8，
∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），
设直线NH的解析式为y＝kt+b，
∴，解得：，
∴直线NH的解析式为y＝﹣5t+110，③成立；
④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，
△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，
∴当t＝秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．
综上可知：正确的结论有3个．
故选：C．
9．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ﹣6、﹣ ．
【解答】解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
12．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是 3.24＜x＜3.25
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
【解答】解：∵当x＝3.24时，y＝﹣0.02；
当x＝3.25时，y＝0.03；
∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
13．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为 ﹣ ．
【解答】解：根据题意得，m2﹣3＝2，
解得m＝±，
∵开口向上，
∴2﹣m＞0，
解得m＜2，
∴m＝﹣．
故答案为：﹣．
14．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【解答】解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
16．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 y＝x2+6x ．
【解答】解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），
则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．
故应填：y＝x2+6x．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①当x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④对称轴x＝﹣1，则x＝﹣2和x＝0时取值相同，则4a﹣2b+c＝1＞0，错误；
⑤对称轴x＝＝﹣1，b＝2a，又x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，代入b＝2a，则c﹣a＞1，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
18．二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是 （1，﹣2） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
19．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝ 3 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴h＝2，k＝1，
∴h+k＝2+1＝3．
故答案为：3．
20．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 5或 ．
【解答】解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
三、解答题（共10小题）
21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知点A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），
设抛物线解析式为y＝ax2+5，
将点A（﹣5，0）代入，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+5，
当y＝4时，﹣x2+5＝4，
解得：x＝，
则两盏景观灯之间的水平距离2m．
22．已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点记为C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+5x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（3，0）；
∵y＝﹣x2+5x﹣6＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点C的坐标为（，）；
（2）△ABC的面积＝×（3﹣2）×＝．
23．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
【解答】解：（1）由顶点A（﹣1，4），可设函数关系式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），
将点B（2，﹣5）代入解析式得：﹣5＝a（2+1）2+4，
解得：a＝﹣1．
则二次函数的关系式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，
得y＝﹣（0+1）2+4＝3，
故图象与y轴交点坐标为（0，3）．
令y＝0，
得0＝﹣（x+1）2+4，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
故图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A'（2，4），B'（5，﹣5）
∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．
24．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
26．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
27．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．求a的值及点B的坐标．
【解答】解：将点A（﹣4，8）代入抛物线y＝ax2，
可得16a＝8，即a＝，
则y＝x2，
将点B（2，n）代入抛物线y＝x2，
得n＝×22＝2．
28．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
29．对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
【解答】解：①是真命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x，
∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12；
∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝﹣4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣﹣，
∵m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小，
∴﹣﹣≤，得m≥，
∵m＜0与m≥矛盾，
故③为假命题．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB＝）
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴0＝×（﹣3）+m，解得m＝，
∴一次函数解析式为y＝x+，
∴C点坐标为（0，）．
∵以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A（﹣3，0）、C（0，），
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；
（2）存在．设Q（x，﹣x2+x+）．
①当点C为直角顶点时，如图，作CQ⊥AC交抛物线于点Q，QE⊥y轴于E．
在△ACO与△CQE中，
，
∴△ACO∽△CQE，
∴＝，即＝，
解得x1＝5.2，x2＝0（不合题意舍去）；
②当点A为直角顶点时，如图，作AQ′⊥AC交抛物线于点Q′，Q′E′⊥x轴于E．
在△ACO与△Q′AE′中，
，
∴△ACO∽△Q′AE′，
∴＝，即＝，
解得x1＝8.2，x2＝﹣3（不合题意舍去）．
综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2；
（3）∵y＝﹣x2+x+与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，对称轴为直线x＝1，
∴B点坐标为（5，0），
∵C（0，），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝1时，y＝﹣×1+＝3，
∴P（1，3）．
设过点P的直线为：y＝kx+3﹣k，
把y＝kx+3﹣k代入y＝﹣x2+x+，
得kx+3﹣k＝﹣x2+x+，
整理得，x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣4k，x1x2＝﹣4k﹣3，y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣4k）2﹣4（﹣4k﹣3）＝16k2+16，
∴M1M2＝＝＝4（1+k2），
同理：M1P＝＝，
M2P＝，
∴M1P M2P＝ ＝|（x1﹣1）（x2﹣1）| （1+k2）＝4（1+k2），
∴＝1为定值．
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