北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（2）（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（2）（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 395.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:33:22 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（2）
一、选择题（共10小题）
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
2．将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
3．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0
②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③
4．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
5．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
9．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共10小题）
11．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ．
12．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是 ．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是 ．
14．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
15．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝ ．
16．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
17．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于 ．
18．已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ ．
19．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
20．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60），销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
23．已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
24．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
25．对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
26．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
27．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x … …
y … …
（2）结合图象回答：
①当x＞1时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是 ．
28．已知二次函数y＝0.5x2﹣x﹣0.5求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，请你帮他检查一下，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是 步，请将此题正确的求顶点的计算过程写在下面的方框内．
小明的计算过程：
y＝0.5x2﹣x﹣0.5
＝x2﹣2x﹣1 ①
＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ②
＝（x﹣1）2﹣2 ③
∴顶点坐标是（1，﹣2）④．
29．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 ．
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
2．将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），
所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．
故选：C．
3．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0
②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③
【解答】解：①∵x1＜x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故本选项正确；
②∵点M（x0，y0）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解，故本选项正确；
③若a＞0，则x1＜x0＜x2，
若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；
④若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．
故选：B．
4．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
【解答】解：y＝x2﹣4x+1
＝（x2﹣4x+4）+1﹣4
＝（x﹣2）2﹣3．
所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
5．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝2且2﹣m≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：B．
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，
故选：D．
7．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，
所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣
所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1
则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6
即y＝（x﹣2）（x+3）
则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），
故选：A．
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错．
故选：C．
9．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．
【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4＝0，解得c＝4，
故答案为：4．
12．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是 （0，3） ．
【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【解答】解：由图可知，二次函数图象为直线x＝2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），
所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
14．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝4﹣4m＝0，且m≠0，
解得 m＝1．
故答案是：1．
15．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，
∴∠COB＝45°，CO＝BC，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，
∴C点坐标为（﹣，），
将点C代入抛物线方程中得ac＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ （x﹣1）2+2 ．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
故答案为（x﹣1）2+2．
17．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于 17 ．
【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣4）2﹣16+m，
∵函数的最小值是1，
∴﹣16+m＝1，
解得m＝17．
故答案为：17．
18．已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ 1或0 ．
【解答】解：因为图象关于y轴对称，
所以x＝﹣＝0，m≠0，
即﹣＝﹣＝0，
解得m＝1．
当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称，
故答案为1或0．
19．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y＝（x﹣4）2﹣2 ．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，其顶点坐标为（3，﹣4）．
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的顶点坐标为（4，﹣2），得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．
20．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ﹣3＜x＜ ．
【解答】解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60），销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；
（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，
∴对称轴为直线x＝25，
∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值＝12250（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．
23．已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，
∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n；
24．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说的不对；
（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣，
∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），
∴mn＝x1 x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，
∵x1≠x2，
∴mn不能取到，
∴0＜mn＜．
25．对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
【解答】证明：（1）由ap＝2（b+q），得q＝﹣b，代入抛物线y＝x2+px+q，
得：﹣y+x2﹣b+p（x+）＝0，
得，
解得：，
故抛物线y＝x2+px+q通过定点（﹣，）．
（2）由2q＝ap﹣2b得p2﹣4q＝p2﹣2 2q＝p2﹣2（ap﹣2b）＝（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），
∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）＝（p﹣a）2≥0，
∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，
∴x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
26．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
【解答】解：（1）描点、连线得：
（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
27．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（2）结合图象回答：
①当x＞1时，y随x的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【解答】解：（1）完成表格如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
函数图象如下：
（2）①由函数图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是﹣1＜x＜3；
故答案为：①增大；②﹣1＜x＜3．
28．已知二次函数y＝0.5x2﹣x﹣0.5求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，请你帮他检查一下，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是 ① 步，请将此题正确的求顶点的计算过程写在下面的方框内．
小明的计算过程：
y＝0.5x2﹣x﹣0.5
＝x2﹣2x﹣1 ①
＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ②
＝（x﹣1）2﹣2 ③
∴顶点坐标是（1，﹣2）④．
【解答】解：y＝0.5x2﹣x﹣0.5
＝0.5（x2﹣2x）﹣0.5 ①
＝0.5（x2﹣2x+1﹣1）﹣0.5 ②
＝0.5（x﹣1）2﹣1③
∴顶点坐标是（1，﹣1）④；
故答案为：①．
29．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 0＜b≤ ．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2，
∴．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．
（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，
∴．
∴A（，）．
（3）点A坐标为（，），
则点B的坐标为（，），
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，
则y＝2x﹣2﹣b，
故＝7﹣2﹣b，
解得b＝，
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，
＝5﹣2﹣b，b＝，
由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，
由题意：Δ＝0，
∴100﹣8（14﹣b）＝0，
∴b＝，
观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．
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一、选择题（共10小题）
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
2．将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
3．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0
②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③
4．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
5．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
9．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共10小题）
11．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ．
12．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是 ．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是 ．
14．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
15．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝ ．
16．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
17．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于 ．
18．已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ ．
19．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
20．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60），销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
23．已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
24．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
25．对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
26．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
27．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x … …
y … …
（2）结合图象回答：
①当x＞1时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是 ．
28．已知二次函数y＝0.5x2﹣x﹣0.5求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，请你帮他检查一下，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是 步，请将此题正确的求顶点的计算过程写在下面的方框内．
小明的计算过程：
y＝0.5x2﹣x﹣0.5
＝x2﹣2x﹣1 ①
＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ②
＝（x﹣1）2﹣2 ③
∴顶点坐标是（1，﹣2）④．
29．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 ．
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
2．将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），
所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．
故选：C．
3．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0
②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③
【解答】解：①∵x1＜x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故本选项正确；
②∵点M（x0，y0）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解，故本选项正确；
③若a＞0，则x1＜x0＜x2，
若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；
④若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．
故选：B．
4．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
【解答】解：y＝x2﹣4x+1
＝（x2﹣4x+4）+1﹣4
＝（x﹣2）2﹣3．
所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
5．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝2且2﹣m≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：B．
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，
故选：D．
7．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，
所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣
所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1
则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6
即y＝（x﹣2）（x+3）
则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），
故选：A．
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错．
故选：C．
9．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．
【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4＝0，解得c＝4，
故答案为：4．
12．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是 （0，3） ．
【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【解答】解：由图可知，二次函数图象为直线x＝2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），
所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
14．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝4﹣4m＝0，且m≠0，
解得 m＝1．
故答案是：1．
15．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，
∴∠COB＝45°，CO＝BC，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，
∴C点坐标为（﹣，），
将点C代入抛物线方程中得ac＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ （x﹣1）2+2 ．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
故答案为（x﹣1）2+2．
17．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于 17 ．
【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣4）2﹣16+m，
∵函数的最小值是1，
∴﹣16+m＝1，
解得m＝17．
故答案为：17．
18．已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ 1或0 ．
【解答】解：因为图象关于y轴对称，
所以x＝﹣＝0，m≠0，
即﹣＝﹣＝0，
解得m＝1．
当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称，
故答案为1或0．
19．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y＝（x﹣4）2﹣2 ．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，其顶点坐标为（3，﹣4）．
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的顶点坐标为（4，﹣2），得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．
20．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ﹣3＜x＜ ．
【解答】解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60），销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；
（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，
∴对称轴为直线x＝25，
∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值＝12250（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．
23．已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，
∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n；
24．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说的不对；
（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣，
∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），
∴mn＝x1 x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，
∵x1≠x2，
∴mn不能取到，
∴0＜mn＜．
25．对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
【解答】证明：（1）由ap＝2（b+q），得q＝﹣b，代入抛物线y＝x2+px+q，
得：﹣y+x2﹣b+p（x+）＝0，
得，
解得：，
故抛物线y＝x2+px+q通过定点（﹣，）．
（2）由2q＝ap﹣2b得p2﹣4q＝p2﹣2 2q＝p2﹣2（ap﹣2b）＝（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），
∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）＝（p﹣a）2≥0，
∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，
∴x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
26．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
【解答】解：（1）描点、连线得：
（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
27．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（2）结合图象回答：
①当x＞1时，y随x的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【解答】解：（1）完成表格如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
函数图象如下：
（2）①由函数图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；
②不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是﹣1＜x＜3；
故答案为：①增大；②﹣1＜x＜3．
28．已知二次函数y＝0.5x2﹣x﹣0.5求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，请你帮他检查一下，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是 ① 步，请将此题正确的求顶点的计算过程写在下面的方框内．
小明的计算过程：
y＝0.5x2﹣x﹣0.5
＝x2﹣2x﹣1 ①
＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ②
＝（x﹣1）2﹣2 ③
∴顶点坐标是（1，﹣2）④．
【解答】解：y＝0.5x2﹣x﹣0.5
＝0.5（x2﹣2x）﹣0.5 ①
＝0.5（x2﹣2x+1﹣1）﹣0.5 ②
＝0.5（x﹣1）2﹣1③
∴顶点坐标是（1，﹣1）④；
故答案为：①．
29．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 0＜b≤ ．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2，
∴．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．
（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，
∴．
∴A（，）．
（3）点A坐标为（，），
则点B的坐标为（，），
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，
则y＝2x﹣2﹣b，
故＝7﹣2﹣b，
解得b＝，
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，
＝5﹣2﹣b，b＝，
由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，
由题意：Δ＝0，
∴100﹣8（14﹣b）＝0，
∴b＝，
观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．
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