北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（3）（word版含参考答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（3）（word版含参考答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 459.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:40:32 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（3）
一、选择题（共10小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
x … ﹣1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 ﹣1 0 5 9 …
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
4．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
7．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
8．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2
9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＜y2＜y3
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（﹣，0）
C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确
二、填空题（共10小题）
11．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
则ax2+bx+c＝0的解为 ．
13．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 ．
14．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 ．
15．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ．
17．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
18．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是 ．
19．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
20．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式： ．
三、解答题（共10小题）
21．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
22．已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，
（1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
24．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
25．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
26．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
27．如图，已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B的坐标；
（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．
28．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克．
（1）如果该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）当每千克涨价多少元时，该商场的每天盈利最大？
29．如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式．
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝＞﹣1，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
2．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
x … ﹣1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 ﹣1 0 5 9 …
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4
【解答】解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
故选：D．
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【解答】解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选：C．
4．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，
∴y＝x2+，
故选：A．
6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【解答】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：A．
7．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
故选：B．
8．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，
设CD＝AE＝xm，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE＝BC＝（6﹣x）m，
∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，
∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB） CE＝（x+x+6） （6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，
∴当x＝4时，S最大＝24．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；
故选：C．
9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＜y2＜y3
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为x＝1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：A．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（﹣，0）
C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（﹣，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案为y＝（x+2）2﹣3．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
则ax2+bx+c＝0的解为 x＝﹣2或1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），
∴此抛物线的对称轴为：直线x＝﹣，
∵此抛物线过点（1，0），
∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（﹣2，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为：x＝﹣2或1．
故答案为：x＝﹣2或1．
13．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 2 ．
【解答】解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，
可见CD的最大值为2．
故答案为2．
14．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 k＝﹣1或k＞3 ．
【解答】解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x值恰好有2个，
所以k＝﹣1或k＞3．
故答案为：k＝﹣1或k＞3．
15．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1 ＞ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∵a＝1＞0，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ≤a≤1 ．
【解答】解：把A（1，1）代入y＝ax2得a＝1；
把B（3，1）代入y＝ax2得a＝，
所以a的取值范围为≤a≤1．
故答案为≤a≤1．
17．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2 ．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x﹣1）2+2．故所得图象的函数表达式是：y＝（x﹣1）2+2．
18．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是 0 ．
【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k﹣3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
19．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a＞b＞d＞c ．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
20．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式： y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3 ．
【解答】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a＝﹣；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a＝；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3．
三、解答题（共10小题）
21．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
【解答】解：（1）y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，
∴顶点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
∴a（﹣3+1）2﹣1＝1，
∴a＝；
②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝，
∴≤k＜，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+）2﹣k，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣4，
综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k＜或k＝﹣4．
22．已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，
（1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
所以抛物线的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
24．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝10﹣x，
S＝x（10﹣x）＝﹣x2+5x，
∵﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
当x＝﹣＝5时，S最大＝﹣×52+5×5＝，
即当AC＝5，BD＝5时，四边形ABCD面积最大，最大值为．
25．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
【解答】解：（1）函数图象如图所示；
（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），
∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝﹣（x+2）2．（或y＝﹣x2﹣4x﹣4）
26．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x＝，
∴满足条件的值为：t≤．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤
∴满足条件的值为：t≤．
27．如图，已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B的坐标；
（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．
【解答】21．解：（1）令y＝0，即x2+x﹣6＝0
解得x＝﹣3或x＝2，
∵点A在点B的左侧
∴点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）
（2）∵当y＜0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜2
28．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克．
（1）如果该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）当每千克涨价多少元时，该商场的每天盈利最大？
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x＝5或x＝10，
∴为了使顾客得到实惠，所以x＝5．
（2）设涨价x元时总利润为y，由题意，得
y＝（10+x）（500﹣20x）
y＝﹣20x2+300x+5 000
y＝﹣20（x﹣7.5）2+6125
∴当x＝7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元．
29．如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y＝x，双曲线为：，
点B（6，m）代入得，点B（6，），（1分）
设直线BC的解析式为y＝x+b，由直线BC经过点B，
将x＝6，，代入y＝x+b得：，（1分）
所以，直线BC的解析式为；（1分）
（2）由直线得点C（0，），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为
将A、B两点的坐标代入，得：
，（1分）
解得（1分）
所以，抛物线的解析式为；（1分）
（3）存在．
把配方得，
所以得点D（4，），对称轴为直线x＝4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD＝，BC＝，CD＝，得CD2＝BC2+BD2，所以，∠DBC＝90°（1分）
又∠PEO＝90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①，即，得，有P1（4，），P2（4，）
②，即，得PE＝12，有P3（4，12），P4（4，﹣12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，），（4，），（4，12），（4，﹣12）．
30．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB＝1+4＝5，
∵AB＝OC，
∴OC＝5，
∴C点的坐标为（0，5）；
（2）设过A、B、C点的二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C的坐标代入得：，
解得：a＝﹣，b＝，c＝5，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5．
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一、选择题（共10小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
x … ﹣1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 ﹣1 0 5 9 …
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
4．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
7．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
8．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2
9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＜y2＜y3
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（﹣，0）
C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确
二、填空题（共10小题）
11．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
则ax2+bx+c＝0的解为 ．
13．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 ．
14．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 ．
15．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ．
17．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
18．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是 ．
19．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
20．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式： ．
三、解答题（共10小题）
21．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
22．已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，
（1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
24．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
25．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
26．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
27．如图，已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B的坐标；
（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．
28．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克．
（1）如果该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）当每千克涨价多少元时，该商场的每天盈利最大？
29．如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式．
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝＞﹣1，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
2．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
x … ﹣1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 ﹣1 0 5 9 …
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4
【解答】解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
故选：D．
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【解答】解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选：C．
4．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，
∴y＝x2+，
故选：A．
6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【解答】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：A．
7．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
故选：B．
8．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，
设CD＝AE＝xm，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE＝BC＝（6﹣x）m，
∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，
∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB） CE＝（x+x+6） （6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，
∴当x＝4时，S最大＝24．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；
故选：C．
9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＜y2＜y3
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为x＝1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：A．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（﹣，0）
C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（﹣，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案为y＝（x+2）2﹣3．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
则ax2+bx+c＝0的解为 x＝﹣2或1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），
∴此抛物线的对称轴为：直线x＝﹣，
∵此抛物线过点（1，0），
∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（﹣2，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为：x＝﹣2或1．
故答案为：x＝﹣2或1．
13．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 2 ．
【解答】解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，
可见CD的最大值为2．
故答案为2．
14．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 k＝﹣1或k＞3 ．
【解答】解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x值恰好有2个，
所以k＝﹣1或k＞3．
故答案为：k＝﹣1或k＞3．
15．已知A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣6x+4的图象上，若x1＜x2＜3，则y1 ＞ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∵a＝1＞0，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ≤a≤1 ．
【解答】解：把A（1，1）代入y＝ax2得a＝1；
把B（3，1）代入y＝ax2得a＝，
所以a的取值范围为≤a≤1．
故答案为≤a≤1．
17．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2 ．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x﹣1）2+2．故所得图象的函数表达式是：y＝（x﹣1）2+2．
18．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是 0 ．
【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k﹣3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
19．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a＞b＞d＞c ．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
20．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式： y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3 ．
【解答】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a＝﹣；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a＝；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3．
三、解答题（共10小题）
21．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
【解答】解：（1）y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，
∴顶点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
∴a（﹣3+1）2﹣1＝1，
∴a＝；
②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝，
∴≤k＜，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+）2﹣k，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣4，
综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k＜或k＝﹣4．
22．已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，
（1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
所以抛物线的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
24．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝10﹣x，
S＝x（10﹣x）＝﹣x2+5x，
∵﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
当x＝﹣＝5时，S最大＝﹣×52+5×5＝，
即当AC＝5，BD＝5时，四边形ABCD面积最大，最大值为．
25．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
【解答】解：（1）函数图象如图所示；
（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），
∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝﹣（x+2）2．（或y＝﹣x2﹣4x﹣4）
26．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x＝，
∴满足条件的值为：t≤．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤
∴满足条件的值为：t≤．
27．如图，已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B的坐标；
（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．
【解答】21．解：（1）令y＝0，即x2+x﹣6＝0
解得x＝﹣3或x＝2，
∵点A在点B的左侧
∴点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）
（2）∵当y＜0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜2
28．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克．
（1）如果该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）当每千克涨价多少元时，该商场的每天盈利最大？
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x＝5或x＝10，
∴为了使顾客得到实惠，所以x＝5．
（2）设涨价x元时总利润为y，由题意，得
y＝（10+x）（500﹣20x）
y＝﹣20x2+300x+5 000
y＝﹣20（x﹣7.5）2+6125
∴当x＝7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元．
29．如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y＝x，双曲线为：，
点B（6，m）代入得，点B（6，），（1分）
设直线BC的解析式为y＝x+b，由直线BC经过点B，
将x＝6，，代入y＝x+b得：，（1分）
所以，直线BC的解析式为；（1分）
（2）由直线得点C（0，），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为
将A、B两点的坐标代入，得：
，（1分）
解得（1分）
所以，抛物线的解析式为；（1分）
（3）存在．
把配方得，
所以得点D（4，），对称轴为直线x＝4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD＝，BC＝，CD＝，得CD2＝BC2+BD2，所以，∠DBC＝90°（1分）
又∠PEO＝90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①，即，得，有P1（4，），P2（4，）
②，即，得PE＝12，有P3（4，12），P4（4，﹣12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，），（4，），（4，12），（4，﹣12）．
30．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB＝1+4＝5，
∵AB＝OC，
∴OC＝5，
∴C点的坐标为（0，5）；
（2）设过A、B、C点的二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C的坐标代入得：，
解得：a＝﹣，b＝，c＝5，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5．
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