北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（4）（word版含参考答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第2章+二次函数》常考题套卷（4）（word版含参考答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 436.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:39:19 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（4）
一、选择题（共10小题）
1．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
4．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
6．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m＝，n＝﹣ B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y 3 m 7 n 7
则当x＝3时，y的值是（ ）
A．3 B．m C．7 D．n
10．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（共10小题）
11．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为 ．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 ．
13．二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是 ．
14．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 ．
15．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝ ．
16．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
17．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 ．
18．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ．
19．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
20．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： ．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
23．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．
（1）求a，b的值．
（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
25．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
26．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 ﹣1 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
27．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且过点（1，﹣2），求抛物线的解析式．
28．如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
29．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
30．设抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a18+323a﹣6的值．
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，
即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选：D．
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【解答】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
6．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m＝，n＝﹣ B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴，解之得，
∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，
故选：D．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵x＝3时，y＝0，
∴x＝2时，4a+2b+c＜0，故③错误；
∵x＝1时，y的值最小，
∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，
即ax2+bx≥a+b，所以④正确．
故选：C．
8．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤1，
∴ab≤，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2≥0，
∴ab≥﹣
∴﹣≤ab≤，
令y＝a4+ab+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2+ab＝﹣2a2b2+ab+1＝﹣2（ab﹣）2+，
当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大，
当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab＝﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+＝﹣2×+＝0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|＝|b|时，ab＝﹣，此时a＝﹣，b＝，或 a＝，b＝﹣．
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y 3 m 7 n 7
则当x＝3时，y的值是（ ）
A．3 B．m C．7 D．n
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵当x＝﹣1或1时，y＝7，
∴抛物线的对称轴为x＝0，由抛物线的对称性可知x＝﹣3与x＝3对称，
∴当x＝3时，y＝3．
故选：A．
10．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C（0，4），
∴CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
∵C（0，4），
代入y＝﹣（x﹣3）2+得：4＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x＝0或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），
∵C（0，4），
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣3）． ．
【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），
∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为x1＝﹣3，x2＝1．
13．二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是 （﹣1，8） ．
【解答】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x+1）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，8）．
故本题答案为：（﹣1，8）．
14．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 2 ．
【解答】解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：
y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，
顶点坐标为（，3b﹣（）2），
∵顶点在y轴上，
∴＝0，
∴b＝2．
15．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝ ．
【解答】解：根据题意，得
6＝9﹣3m+m﹣2，即6＝7﹣2m，
解得，m＝；
故答案是：．
16．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 y＝3（x﹣1）2﹣2 ．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣2．
17．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 7 ．
【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
18．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ﹣1 ．
【解答】解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
20．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： y＝﹣x2+2 ．
【解答】解：因为抛物线的开口向下，
则可设a＝﹣1，
又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
则可设顶点为（0，2），
所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为y＝﹣x2+2．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2））∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2．
∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0），
∴其图象为：
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣6mx+9m+1＝m（x﹣3）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，1）；
（2）∵对称轴为直线x＝3，且AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将点A的坐标代入抛物线，可得：m＝﹣；
（3）如图：
①当m＞0时满足，解得：m＞；
②当m＜0时满足，解得：m＜﹣1；
综上，m＜﹣1或m＞．
23．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．
（1）求a，b的值．
（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
【解答】解（1）由题意可知：，解得．
（2）将（12，m），（n，17）代入y＝x2+4，得：m＝144+4，17＝n2+4，
解得m＝148，n＝±．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
【解答】解：（1）根据题意知S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×24﹣×4x×（12﹣2x）
＝4x2﹣24x+144，
由12﹣2x＞0得x＜6，
∴0＜x＜6；
（2）y＝4x2﹣24x+144＝4（x﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108．
25．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5），
所以原二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5，
所以a＝，h＝1，k＝﹣5；
（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）．
26．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
当x＝1时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0；
当x＝3时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝9﹣12+3＝0，
故答案为0，0；
（2）因为抛物线y＝x2﹣4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0；
（3）抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为（0，0），
所以函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝x2的图象．
27．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且过点（1，﹣2），求抛物线的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+1，
把点（1，﹣2）代入得，﹣2＝a（1+2）2+1，解得a＝﹣，
故抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+1．
28．如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，0）代入得：b＝3a，
y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a
所以顶点D（1，﹣4a）．
（2）①有题设知：点C（0，﹣3a），点A（3，0），
且∠ACD＝90°；
在Rt△AOC中，AC2＝9a2+32，
在Rt△AHD中，AD2＝16a2+22，
在Rt△CMD中，CD2＝a2+12，
因为AD2＝AC2+CD2，
所以16a2+22＝a2+12+9a2+32，a2＝1，又a＜0，
所以a＝﹣1，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
②设点M（m，y1）
则BF＝m+1，
点MF：BF＝1：2，
∴MF＝，即y1＝，
点M（m，y1）在抛物线上，
所以＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝或m＝﹣1（舍去），
点M的坐标为（，）；
又因为MP∥BO，MP＝BO，
所以点的坐标为P（，），
由得点N的坐标为N（，）．
③设点Q（1，y）
因为D（1，4），C（0，3）
直线CD的方程为y＝x+3，
令y＝0，得G（﹣3，0），
设直线CD与⊙Q的切点为K，连接QK；
则△DQK∽△DGH，＝，
又QK＝QB＝，DQ＝4﹣y，
所以＝，
整理得：y2+8y﹣8＝0，
解得y＝﹣4±2；
所以点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
说明：由∠QDK＝45°，直接得出QD＝QK，从而得4﹣y＝再求解，同样给分．
29．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 一次函数 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由表可知，x的值每增加10元时，y的值均减小20件，
据此可知y与x的函数关系为一次函数，
设该一次函数为y＝k x+b，
代入（60，280）和（70，260），
得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+400，
将（80，240），（90，220）代入上式等式成立；
故答案为：一次函数．
（2）设月利润为w元，
则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝120时，w有最大值12800，
答：当售价定为120元时，利润最大，最大值为12800元．
30．设抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a18+323a﹣6的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝＝0，
解得：a＝．
（2）∵a＝，
∴a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∵a≠0，
∴＝1，
＝+2
＝3，
＝﹣2
＝7，
＝﹣2
＝47，
＝（）（﹣1）
＝7×（47﹣1）
＝322，
a18+323a﹣6
＝（）+
＝a6（）+
＝322a6+
＝322（），
＝（）（﹣1）
＝3×（7﹣1）
＝18．
∴322（）＝322×18＝5796．
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一、选择题（共10小题）
1．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
4．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
6．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m＝，n＝﹣ B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y 3 m 7 n 7
则当x＝3时，y的值是（ ）
A．3 B．m C．7 D．n
10．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（共10小题）
11．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为 ．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 ．
13．二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是 ．
14．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 ．
15．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝ ．
16．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
17．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 ．
18．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ．
19．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
20．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： ．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
23．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．
（1）求a，b的值．
（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
25．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
26．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 ﹣1 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
27．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且过点（1，﹣2），求抛物线的解析式．
28．如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
29．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
30．设抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a18+323a﹣6的值．
北师大新版九年级（下）《第2章 二次函数》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，
即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选：D．
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【解答】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
6．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m＝，n＝﹣ B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，
∴，解之得，
∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，
故选：D．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵x＝3时，y＝0，
∴x＝2时，4a+2b+c＜0，故③错误；
∵x＝1时，y的值最小，
∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，
即ax2+bx≥a+b，所以④正确．
故选：C．
8．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤1，
∴ab≤，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2≥0，
∴ab≥﹣
∴﹣≤ab≤，
令y＝a4+ab+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2+ab＝﹣2a2b2+ab+1＝﹣2（ab﹣）2+，
当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大，
当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab＝﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+＝﹣2×+＝0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|＝|b|时，ab＝﹣，此时a＝﹣，b＝，或 a＝，b＝﹣．
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y 3 m 7 n 7
则当x＝3时，y的值是（ ）
A．3 B．m C．7 D．n
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵当x＝﹣1或1时，y＝7，
∴抛物线的对称轴为x＝0，由抛物线的对称性可知x＝﹣3与x＝3对称，
∴当x＝3时，y＝3．
故选：A．
10．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C（0，4），
∴CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
∵C（0，4），
代入y＝﹣（x﹣3）2+得：4＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x＝0或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），
∵C（0，4），
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣3）． ．
【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），
∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为x1＝﹣3，x2＝1．
13．二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是 （﹣1，8） ．
【解答】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x+1）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，8）．
故本题答案为：（﹣1，8）．
14．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 2 ．
【解答】解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：
y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，
顶点坐标为（，3b﹣（）2），
∵顶点在y轴上，
∴＝0，
∴b＝2．
15．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝ ．
【解答】解：根据题意，得
6＝9﹣3m+m﹣2，即6＝7﹣2m，
解得，m＝；
故答案是：．
16．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 y＝3（x﹣1）2﹣2 ．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣2．
17．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 7 ．
【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
18．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ﹣1 ．
【解答】解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
20．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： y＝﹣x2+2 ．
【解答】解：因为抛物线的开口向下，
则可设a＝﹣1，
又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
则可设顶点为（0，2），
所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为y＝﹣x2+2．
三、解答题（共10小题）
21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2））∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2．
∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0），
∴其图象为：
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣6mx+9m+1＝m（x﹣3）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，1）；
（2）∵对称轴为直线x＝3，且AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将点A的坐标代入抛物线，可得：m＝﹣；
（3）如图：
①当m＞0时满足，解得：m＞；
②当m＜0时满足，解得：m＜﹣1；
综上，m＜﹣1或m＞．
23．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．
（1）求a，b的值．
（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
【解答】解（1）由题意可知：，解得．
（2）将（12，m），（n，17）代入y＝x2+4，得：m＝144+4，17＝n2+4，
解得m＝148，n＝±．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
【解答】解：（1）根据题意知S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×24﹣×4x×（12﹣2x）
＝4x2﹣24x+144，
由12﹣2x＞0得x＜6，
∴0＜x＜6；
（2）y＝4x2﹣24x+144＝4（x﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108．
25．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5），
所以原二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5，
所以a＝，h＝1，k＝﹣5；
（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）．
26．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
当x＝1时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0；
当x＝3时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝9﹣12+3＝0，
故答案为0，0；
（2）因为抛物线y＝x2﹣4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0；
（3）抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为（0，0），
所以函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝x2的图象．
27．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且过点（1，﹣2），求抛物线的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+1，
把点（1，﹣2）代入得，﹣2＝a（1+2）2+1，解得a＝﹣，
故抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+1．
28．如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，0）代入得：b＝3a，
y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a
所以顶点D（1，﹣4a）．
（2）①有题设知：点C（0，﹣3a），点A（3，0），
且∠ACD＝90°；
在Rt△AOC中，AC2＝9a2+32，
在Rt△AHD中，AD2＝16a2+22，
在Rt△CMD中，CD2＝a2+12，
因为AD2＝AC2+CD2，
所以16a2+22＝a2+12+9a2+32，a2＝1，又a＜0，
所以a＝﹣1，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
②设点M（m，y1）
则BF＝m+1，
点MF：BF＝1：2，
∴MF＝，即y1＝，
点M（m，y1）在抛物线上，
所以＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝或m＝﹣1（舍去），
点M的坐标为（，）；
又因为MP∥BO，MP＝BO，
所以点的坐标为P（，），
由得点N的坐标为N（，）．
③设点Q（1，y）
因为D（1，4），C（0，3）
直线CD的方程为y＝x+3，
令y＝0，得G（﹣3，0），
设直线CD与⊙Q的切点为K，连接QK；
则△DQK∽△DGH，＝，
又QK＝QB＝，DQ＝4﹣y，
所以＝，
整理得：y2+8y﹣8＝0，
解得y＝﹣4±2；
所以点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
说明：由∠QDK＝45°，直接得出QD＝QK，从而得4﹣y＝再求解，同样给分．
29．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 一次函数 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由表可知，x的值每增加10元时，y的值均减小20件，
据此可知y与x的函数关系为一次函数，
设该一次函数为y＝k x+b，
代入（60，280）和（70，260），
得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+400，
将（80，240），（90，220）代入上式等式成立；
故答案为：一次函数．
（2）设月利润为w元，
则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝120时，w有最大值12800，
答：当售价定为120元时，利润最大，最大值为12800元．
30．设抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a18+323a﹣6的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝＝0，
解得：a＝．
（2）∵a＝，
∴a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∵a≠0，
∴＝1，
＝+2
＝3，
＝﹣2
＝7，
＝﹣2
＝47，
＝（）（﹣1）
＝7×（47﹣1）
＝322，
a18+323a﹣6
＝（）+
＝a6（）+
＝322a6+
＝322（），
＝（）（﹣1）
＝3×（7﹣1）
＝18．
∴322（）＝322×18＝5796．
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