北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（1）（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（1）（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 752.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:35:47 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（1）
一、选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
2．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
5．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
7．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
8．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．4 C． D．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C． D．2
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
二、填空题（共10小题）
11．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
12．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 cm内径的管道（内径指内部直径）．
13．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是 度．
14．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 ．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝ ．
16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 ．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 ．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
20．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC＝，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
22．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
24．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
25．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
26．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
27．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连接OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
28．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12．
（1）求⊙O半径；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
29．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
2．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
5．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
【解答】解：A、过圆心的弦是圆的直径，说法正确；
B、等弧的长度一定相等，说法正确；
C、周长相等的两个圆是等圆，说法正确；
D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是同一条弦对的两条弧只有在这条弦是直径的情况下是等弧，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
【解答】解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．
故选：A．
8．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．4 C． D．
【解答】解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，
∴△ADF∽△BDC，
∴＝＝，
∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAB，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，
∴BE＝＝x，CF＝＝，
由切割线定理得：AE2＝ED×BE，
∴ED＝＝＝x，
∴BD＝BE﹣ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，
∴∠CBH＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°＝∠BHC，
∴△BCH∽△EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得：BH＝x，CH＝x，
∴DH＝BD﹣BH＝x，
∴CD2＝CH2+DH2＝x2，
∵DF⊥CD，
∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，
解得：x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为；
解法二：因为＝，
∴＝，
∴CD＝3，
∴CF＝＝，
∵BF2+BC2＝CF2，
∴10x2＝130，
∴x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为．
故选：A．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C． D．2
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
故选：B．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 6π cm．
【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．
故答案为6π．
12．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 100 cm内径的管道（内径指内部直径）．
【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴AC＝AB＝×60＝30，
CO＝AO﹣10，
在Rt△AOC中，AO2＝AC2+OC2，
AO2＝302+（AO﹣10）2，
解得AO＝50cm．
∴内径为2×50＝100cm．
故答案为：100．
13．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是 30或150 度．
【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝150°．
故弦AB所对的圆周角是 30或150度．
故答案为：30或150．
14．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 相交 ．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝ 40° ．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．
故答案为：40°．
16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 2 ．
【解答】解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故答案为：2．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 ．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∴DE2＝EF OE，
∵CF＝1，
∴DE＝，
∵△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故答案为：
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 7 ．
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝＝2，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤5+2＝7，
即BM的最大值是7．
故答案为7．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ 1 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．
故答案为：1．
20．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC＝，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，
∵OA＝OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA＝∠OAT，∠BAT＝∠CAT，
∴∠OTA＝∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT为半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC＝∠MCT＝∠OTC＝90°，
∴四边形OMCT是矩形，
∴OM＝TC＝，
∵OA＝2，
∴sin∠OAM＝，
∴∠OAM＝60°，
∴∠AOM＝30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT＝180°﹣∠OAM＝120°，
∵∠OAM＝60°，OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠TOD＝120°﹣60°＝60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC＝∠CAT＝∠BAC＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴DC＝1，
∴阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD＝×（2+1）×﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴∠COB＝∠BOD＝135°，
∴的长＝＝π．
22．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
【解答】已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
求证：四边形ABCD是矩形，
证明：方法一、∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
方法二、∵∠B＝∠D＝90°，
同理∠A＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，BD＝AD＝×＝3．
24．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
25．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝1，BC＝，
∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．
26．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
27．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连接OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【解答】解：证法错误；
证明：连接OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
28．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12．
（1）求⊙O半径；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AB＝AC＝12，
∴⊙O半径为6；
（2）证明：连接OD，
∵∠CDE＝∠DAC，
∴∠CDE+∠C＝∠DAC+∠C，
∴∠AED＝∠ADB，
由（1）知∠ADB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵DC＝BD，OA＝OB
∴OD∥AC．
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
29．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
【解答】解：（1）连接OC，如右图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．
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一、选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
2．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
5．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
7．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
8．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．4 C． D．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C． D．2
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
二、填空题（共10小题）
11．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
12．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 cm内径的管道（内径指内部直径）．
13．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是 度．
14．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 ．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝ ．
16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 ．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 ．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
20．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC＝，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
22．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
24．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
25．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
26．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
27．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连接OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
28．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12．
（1）求⊙O半径；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
29．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
2．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
5．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
【解答】解：A、过圆心的弦是圆的直径，说法正确；
B、等弧的长度一定相等，说法正确；
C、周长相等的两个圆是等圆，说法正确；
D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是同一条弦对的两条弧只有在这条弦是直径的情况下是等弧，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
【解答】解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．
故选：A．
8．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．4 C． D．
【解答】解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，
∴△ADF∽△BDC，
∴＝＝，
∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAB，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，
∴BE＝＝x，CF＝＝，
由切割线定理得：AE2＝ED×BE，
∴ED＝＝＝x，
∴BD＝BE﹣ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，
∴∠CBH＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°＝∠BHC，
∴△BCH∽△EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得：BH＝x，CH＝x，
∴DH＝BD﹣BH＝x，
∴CD2＝CH2+DH2＝x2，
∵DF⊥CD，
∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，
解得：x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为；
解法二：因为＝，
∴＝，
∴CD＝3，
∴CF＝＝，
∵BF2+BC2＝CF2，
∴10x2＝130，
∴x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为．
故选：A．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C． D．2
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
故选：B．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 6π cm．
【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．
故答案为6π．
12．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 100 cm内径的管道（内径指内部直径）．
【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴AC＝AB＝×60＝30，
CO＝AO﹣10，
在Rt△AOC中，AO2＝AC2+OC2，
AO2＝302+（AO﹣10）2，
解得AO＝50cm．
∴内径为2×50＝100cm．
故答案为：100．
13．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是 30或150 度．
【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝150°．
故弦AB所对的圆周角是 30或150度．
故答案为：30或150．
14．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 相交 ．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝ 40° ．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．
故答案为：40°．
16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 2 ．
【解答】解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故答案为：2．
17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 ．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∴DE2＝EF OE，
∵CF＝1，
∴DE＝，
∵△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故答案为：
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 7 ．
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝＝2，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤5+2＝7，
即BM的最大值是7．
故答案为7．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ 1 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．
故答案为：1．
20．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC＝，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，
∵OA＝OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA＝∠OAT，∠BAT＝∠CAT，
∴∠OTA＝∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT为半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC＝∠MCT＝∠OTC＝90°，
∴四边形OMCT是矩形，
∴OM＝TC＝，
∵OA＝2，
∴sin∠OAM＝，
∴∠OAM＝60°，
∴∠AOM＝30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT＝180°﹣∠OAM＝120°，
∵∠OAM＝60°，OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠TOD＝120°﹣60°＝60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC＝∠CAT＝∠BAC＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴DC＝1，
∴阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD＝×（2+1）×﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴∠COB＝∠BOD＝135°，
∴的长＝＝π．
22．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
【解答】已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
求证：四边形ABCD是矩形，
证明：方法一、∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
方法二、∵∠B＝∠D＝90°，
同理∠A＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，BD＝AD＝×＝3．
24．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
25．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝1，BC＝，
∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．
26．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
27．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连接OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【解答】解：证法错误；
证明：连接OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
28．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12．
（1）求⊙O半径；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AB＝AC＝12，
∴⊙O半径为6；
（2）证明：连接OD，
∵∠CDE＝∠DAC，
∴∠CDE+∠C＝∠DAC+∠C，
∴∠AED＝∠ADB，
由（1）知∠ADB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵DC＝BD，OA＝OB
∴OD∥AC．
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
29．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
【解答】解：（1）连接OC，如右图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．
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