北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（2）（word版、含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（2）（word版、含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 590.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:36:32 | ||
图片预览
文档简介
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（2）
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
2．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
3．如图，在 ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．如图，⊙O的直径CD为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．45° B．90° C．135° D．150°
8．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi iDiEi，则正六边形OAiBi iDiEi（i＝2020）的顶点 i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
二、填空题（共10小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
12．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O （填“上”“外”或“内”）
13．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为 °．
15．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
17．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 cm．
18．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是 ．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 ．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
三、解答题（共10小题）
21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．
22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP＝AC．
（1）若∠B＝60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD＝4，求BE AB的值．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
26．如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
27．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为 ．
28．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
30．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE＝CE cot60°＝×＝1，OC＝2OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE ED＝﹣+＝．
解法二：连接OD，BC，证明OD∥BC，可以证明S阴影＝S扇形OCB＝．
故选：D．
2．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
3．如图，在 ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：C．
5．如图，⊙O的直径CD为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接OA．
∵直径CD⊥AB，AB＝8，
∴AM＝BM＝AB＝4，
在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝4，
根据勾股定理得：OM＝＝3，
则CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
故选：B．
6．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．45° B．90° C．135° D．150°
【解答】解：∵＝，
∴∠A＝∠DOB＝×90°＝45°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣45°＝135°，
故选：C．
8．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC＝2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC AB﹣（S半圆AD+S半圆BC﹣S）＝S，即2AB﹣π 12+S＝S，
∴AB＝．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP＝AB＝，
∴EP＝＝＝，
∴EF＝2EP＝．
故选：D．
9．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi iDiEi，则正六边形OAiBi iDiEi（i＝2020）的顶点 i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴ i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∵AB＝AC＝1，∠OAB＝120°，
∴OB＝，
∴C4（1，﹣），
∴顶点 i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ 30 °．
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
故答案为30．
12．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O 内 （填“上”“外”或“内”）
【解答】解：∵OA＝3cm＜4cm∴点A在⊙O内．
故答案是：内．
13．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 3≤OP≤5 ．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM＝，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为 22.5 °．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∵AB＝2DO，
而AB＝2DE，
∴DO＝DE，
∴∠DOE＝∠E，
∵△COD为直角三角形，
而OC＝OD，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴∠CDO＝45°，
∵∠CDO＝∠DOE+∠E，
∴∠E＝∠CDO＝22.5°．
故答案为22.5°．
15．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 π ．
【解答】解：根据弧长公式：l＝＝π，
故答案为：π．
16．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 4.8 ．
【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ是⊙F的直径，
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．
∴FC+FD＝PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值
∴CD＝BC AC÷AB＝4.8．
故答案为4.8．
17．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 4 cm．
【解答】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，
即图中阴影部分的周长为4，
故答案为4．
18．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是 15+5 ．
【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，
因此，只要AP的长为最大值，
∴当P的运动到D点时，AP最长，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠DBA＝90°，
∴由勾股定理得AD的长为5，
∴周长为5×3+5＝15+5．
故答案为：15+5．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 3＜r≤4或r＝2.4 ．
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
三、解答题（共10小题）
21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．
【解答】解：解法一：（用垂径定理求）
如图，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F，
∴，
又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠FCA＝25°，
∴的度数为25°，
∴的度数为50°；
解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠E＝∠B＝25°，
∴的度数为50°；
解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°，
∵CA＝CD，
∴∠ADC＝∠A＝65°，
∴∠ACD＝50°，
∴的度数为50°．
22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP＝AC．
（1）若∠B＝60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD＝4，求BE AB的值．
【解答】（1）证明：连接AD，OA，
∵∠ADC＝∠B，∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AP＝AC，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACD＝30°，∠P＝∠ACD＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）解：连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC＝90°，
∵CD＝4，B为弧CD中点，
∴BD＝BC＝＝2，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DCB＝45°，
即∠BDE＝∠DAB，
∵∠DBE＝∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴＝，
∴BE AB＝BD BD＝2×2＝8．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD AE＝AC CE，
∴CD＝＝．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
25．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝，
在Rt△OCD中，CD＝OC，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
26．如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
【解答】证明：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
27．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 60° 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为 9 ．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴ AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝6，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴＝，即＝，解得DE＝9．
故答案为：①60°；②9．
28．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．
【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，
即△ADE是等腰三角形．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵EF⊥AF，
∴∠F＝90°．
∵D是的中点，
∴＝．
∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠EOD，
∴OD∥AF．
∴∠EDO＝∠F＝90°．
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，
∴＝＝10，
设⊙O半径为r，
∴EO＝10﹣r．
∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△EAF，
∴＝，
∴．
∴r＝，即⊙O的半径为．
30．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
【解答】解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：＝．
第1页（共3页）
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
2．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
3．如图，在 ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．如图，⊙O的直径CD为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．45° B．90° C．135° D．150°
8．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi iDiEi，则正六边形OAiBi iDiEi（i＝2020）的顶点 i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
二、填空题（共10小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
12．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O （填“上”“外”或“内”）
13．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为 °．
15．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
17．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 cm．
18．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是 ．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 ．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
三、解答题（共10小题）
21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．
22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP＝AC．
（1）若∠B＝60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD＝4，求BE AB的值．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
26．如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
27．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为 ．
28．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
30．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE＝CE cot60°＝×＝1，OC＝2OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE ED＝﹣+＝．
解法二：连接OD，BC，证明OD∥BC，可以证明S阴影＝S扇形OCB＝．
故选：D．
2．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
3．如图，在 ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：C．
5．如图，⊙O的直径CD为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接OA．
∵直径CD⊥AB，AB＝8，
∴AM＝BM＝AB＝4，
在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝4，
根据勾股定理得：OM＝＝3，
则CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
故选：B．
6．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．45° B．90° C．135° D．150°
【解答】解：∵＝，
∴∠A＝∠DOB＝×90°＝45°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣45°＝135°，
故选：C．
8．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC＝2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC AB﹣（S半圆AD+S半圆BC﹣S）＝S，即2AB﹣π 12+S＝S，
∴AB＝．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP＝AB＝，
∴EP＝＝＝，
∴EF＝2EP＝．
故选：D．
9．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi iDiEi，则正六边形OAiBi iDiEi（i＝2020）的顶点 i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴ i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∵AB＝AC＝1，∠OAB＝120°，
∴OB＝，
∴C4（1，﹣），
∴顶点 i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ 30 °．
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
故答案为30．
12．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O 内 （填“上”“外”或“内”）
【解答】解：∵OA＝3cm＜4cm∴点A在⊙O内．
故答案是：内．
13．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 3≤OP≤5 ．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM＝，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为 22.5 °．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∵AB＝2DO，
而AB＝2DE，
∴DO＝DE，
∴∠DOE＝∠E，
∵△COD为直角三角形，
而OC＝OD，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴∠CDO＝45°，
∵∠CDO＝∠DOE+∠E，
∴∠E＝∠CDO＝22.5°．
故答案为22.5°．
15．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 π ．
【解答】解：根据弧长公式：l＝＝π，
故答案为：π．
16．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 4.8 ．
【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ是⊙F的直径，
设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．
∴FC+FD＝PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值
∴CD＝BC AC÷AB＝4.8．
故答案为4.8．
17．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 4 cm．
【解答】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，
即图中阴影部分的周长为4，
故答案为4．
18．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是 15+5 ．
【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，
因此，只要AP的长为最大值，
∴当P的运动到D点时，AP最长，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠DBA＝90°，
∴由勾股定理得AD的长为5，
∴周长为5×3+5＝15+5．
故答案为：15+5．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 3＜r≤4或r＝2.4 ．
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
三、解答题（共10小题）
21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．
【解答】解：解法一：（用垂径定理求）
如图，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F，
∴，
又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠FCA＝25°，
∴的度数为25°，
∴的度数为50°；
解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠E＝∠B＝25°，
∴的度数为50°；
解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°，
∵CA＝CD，
∴∠ADC＝∠A＝65°，
∴∠ACD＝50°，
∴的度数为50°．
22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP＝AC．
（1）若∠B＝60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD＝4，求BE AB的值．
【解答】（1）证明：连接AD，OA，
∵∠ADC＝∠B，∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AP＝AC，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACD＝30°，∠P＝∠ACD＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）解：连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC＝90°，
∵CD＝4，B为弧CD中点，
∴BD＝BC＝＝2，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DCB＝45°，
即∠BDE＝∠DAB，
∵∠DBE＝∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴＝，
∴BE AB＝BD BD＝2×2＝8．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD AE＝AC CE，
∴CD＝＝．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
25．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝，
在Rt△OCD中，CD＝OC，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
26．如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
【解答】证明：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
27．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 60° 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为 9 ．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴ AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝6，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴＝，即＝，解得DE＝9．
故答案为：①60°；②9．
28．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．
【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，
即△ADE是等腰三角形．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵EF⊥AF，
∴∠F＝90°．
∵D是的中点，
∴＝．
∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠EOD，
∴OD∥AF．
∴∠EDO＝∠F＝90°．
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，
∴＝＝10，
设⊙O半径为r，
∴EO＝10﹣r．
∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△EAF，
∴＝，
∴．
∴r＝，即⊙O的半径为．
30．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
【解答】解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：＝．
第1页（共3页）