北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（4）（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（4）（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 597.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:38:05 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（4）
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
2．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
9．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
二、填空题（共10小题）
11．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 ．
12．已知正六边形的边心距为，则它的周长是 ．
13．如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
14．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为 ．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为 ．
16．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于 ．
17．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为 ．
18．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 ．
19．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝ °．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O的上，点E在⊙O的外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
23．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
26．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
27．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
28．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD＝30°，AE＝2cm．求DB长．
30．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
2．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
3．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【解答】解：连接OC，
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠COD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠A+∠OCA＝∠COD＝50°，
∴∠A＝25°．
故选：B．
4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【解答】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选：B．
5．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．
6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，OM过O，
∴AM＝BM＝4，OM⊥AB，
∴由勾股定理得：OA＝＝＝5，
故选：C．
7．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°，
故选：B．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【解答】解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
9．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 40° ．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故答案为40°．
12．已知正六边形的边心距为，则它的周长是 12 ．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH＝60°，
∵OH⊥A，OH＝，
∴OA＝＝2，
∴AB＝OA＝2，
∴它的周长是：2×6＝12．
故答案为：12．
13．如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 4﹣π （结果保留π）．
【解答】解：连接AD．
∵直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴∠C＝60°，AB＝4，
∵AD＝AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝4×4÷2﹣4×2÷2﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
14．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为 40cm ．
【解答】40cm解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM＝＝＝60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故答案为40cm．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为 10 ．
【解答】解：连接OC，设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣BE＝r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝6，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（r﹣2）2+62＝r2，解得r＝10，
即⊙O半径为10．
故答案为10．
16．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于 3 ．
【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∵AH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CA＝AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH＝BF＝3．
故答案为：3．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
在△AMC和△DNA中
，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
故答案为：3．
17．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为 18 ．
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l＝，
得到：12π＝，
解得 r＝18．
故答案为：18．
18．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 π ．
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故答案为：π．
19．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝ 155 °．
【解答】解：连接EA，
∵为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
【解答】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM＝，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC＝，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵ AB CK＝ AC BC，
∴CK＝，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为﹣＝，
∴MN的最大值＝2＝，
故答案为．
三、解答题（共10小题）
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O的上，点E在⊙O的外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，
∴BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
23．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
【解答】证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
26．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴＝，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长＝××π×6＝π．
27．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，
由（1）知OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD，
而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，
设OC＝x，则OD＝2x，
由勾股定理得4x2﹣x2＝62，
解得，
所以．
28．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢球的直径是10mm，
∴钢球的半径是5mm，
∵钢球顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD＝30°，AE＝2cm．求DB长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，∠AEC＝∠DEB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
在Rt△ACE中，AC＝2AE＝4cm，
∴CE＝＝2（cm），
∴DE＝2cm，
在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4cm．
∴DB的长为4cm．
30．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF＝DE＝6，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2CF＝12，
在Rt△ABC中，
AB＝．
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一、选择题（共10小题）
1．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
2．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
9．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
二、填空题（共10小题）
11．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 ．
12．已知正六边形的边心距为，则它的周长是 ．
13．如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
14．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为 ．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为 ．
16．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于 ．
17．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为 ．
18．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 ．
19．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝ °．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O的上，点E在⊙O的外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
23．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
26．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
27．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
28．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD＝30°，AE＝2cm．求DB长．
30．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
2．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
3．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【解答】解：连接OC，
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠COD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠A+∠OCA＝∠COD＝50°，
∴∠A＝25°．
故选：B．
4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【解答】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选：B．
5．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．
6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，OM过O，
∴AM＝BM＝4，OM⊥AB，
∴由勾股定理得：OA＝＝＝5，
故选：C．
7．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°，
故选：B．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【解答】解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
9．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．9﹣3π B．9﹣2π C．18﹣9π D．18﹣6π
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 40° ．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故答案为40°．
12．已知正六边形的边心距为，则它的周长是 12 ．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH＝60°，
∵OH⊥A，OH＝，
∴OA＝＝2，
∴AB＝OA＝2，
∴它的周长是：2×6＝12．
故答案为：12．
13．如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 4﹣π （结果保留π）．
【解答】解：连接AD．
∵直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴∠C＝60°，AB＝4，
∵AD＝AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝4×4÷2﹣4×2÷2﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
14．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为 40cm ．
【解答】40cm解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM＝＝＝60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故答案为40cm．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为 10 ．
【解答】解：连接OC，设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣BE＝r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝6，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（r﹣2）2+62＝r2，解得r＝10，
即⊙O半径为10．
故答案为10．
16．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于 3 ．
【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∵AH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CA＝AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH＝BF＝3．
故答案为：3．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
在△AMC和△DNA中
，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
故答案为：3．
17．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为 18 ．
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l＝，
得到：12π＝，
解得 r＝18．
故答案为：18．
18．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 π ．
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故答案为：π．
19．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝ 155 °．
【解答】解：连接EA，
∵为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
【解答】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM＝，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC＝，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵ AB CK＝ AC BC，
∴CK＝，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为﹣＝，
∴MN的最大值＝2＝，
故答案为．
三、解答题（共10小题）
21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O的上，点E在⊙O的外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，
∴BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
23．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
【解答】证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
26．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴＝，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长＝××π×6＝π．
27．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，
由（1）知OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD，
而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，
设OC＝x，则OD＝2x，
由勾股定理得4x2﹣x2＝62，
解得，
所以．
28．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢球的直径是10mm，
∴钢球的半径是5mm，
∵钢球顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD＝30°，AE＝2cm．求DB长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，∠AEC＝∠DEB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
在Rt△ACE中，AC＝2AE＝4cm，
∴CE＝＝2（cm），
∴DE＝2cm，
在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4cm．
∴DB的长为4cm．
30．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF＝DE＝6，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2CF＝12，
在Rt△ABC中，
AB＝．
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