北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（5）（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大新版九年级（下）《第3章+圆》常考题套卷（5）（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 576.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-15 21:38:44 | ||
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文档简介
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（5）
一、选择题（共10小题）
1．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内
C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内
3．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
6．下列说法错误的是（ ）
A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点
C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
7．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
8．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
10．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
二、填空题（共10小题）
11．一个扇形的面积是12πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 cm．
12．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，则BC的长为 ．
13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 ．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 ．
16．已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形外接圆的半径是 ．
17．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
18．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 ．
19．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 °．
20．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2＝BD BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
24．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．
25．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
26．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
27．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）
28．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
29．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留π）
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
【解答】解：如图：
BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，
故选：B．
2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内
C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内
【解答】解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，
即点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
3．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD＝S
则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC+S△COD+S△DOA
＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；
方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，
故选：C．
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝40 m，
∴AD＝DB＝20 m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25（m），
∴这段弯路的半径为25 m
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点
C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
【解答】解：A、如果直径平分的弦也是直径的话，此种情况是不成立的；
但是如果说垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧就是正确的结论；
B、因为半径是6，而圆心到直线的距离是5，因此圆与直线相交，并且有两个交点；
C、如果三角形的外心在三角形的外部，那么三角形在外接圆中，有一个角相对应的弧必定是优弧，因此三角形是钝角三角形；
D、由于三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此到三边的距离都是内切圆的半径，因此该结论也是正确的．
故选：A．
7．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
8．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
10．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝35°，
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．一个扇形的面积是12πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 6 cm．
【解答】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得＝12π，
解得r＝±6（负值舍去）．
故答案为6．
12．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，则BC的长为 8 ．
【解答】解：∵BD＝CD，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为8．
13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 π ．
【解答】解：l＝＝＝π．
故答案为π．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝BC AD﹣＝×4×2﹣＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
15．已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 30° ．
【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，
∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．
故答案为30°．
16．已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形外接圆的半径是 2.5cm ．
【解答】解：∵三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，32+42＝52，
∴此三角形是以5cm为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为5÷2＝2.5cm．
故答案为：2.5cm．
17．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ 1 ．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1．
故答案为1．
18．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 30°或150° ．
【解答】解：如图边AB与半径相等时，
则∠AOB＝60°，
当等径角顶点为C时，∠C＝∠AOB＝30°，
当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180°，∠D＝150°，
故答案为：30°或150°．
19．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 54 °．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，
∴＝，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴＝，∠BAE＝108°，
∴＝，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故答案为：54．
20．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2＝BD BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BDC，
又∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
即BC2＝BA BD；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵四边形EBOC是平行四边形，
∴OC∥BE，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△ODC和△OAC中
，
∴△ODC≌△OAC，
∴∠ODC＝∠OAC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠F＝30°，
∴∠FOD＝60°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵四边形EBOC是平行四边形，
∴OC＝BE＝8，
在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4
∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD
＝2××4×4﹣
＝16﹣π．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC DE，
∴DE＝＝＝．
24．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．
【解答】解：连接BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
设AO＝x，则OC＝OD﹣CD＝x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2＝AC2+OC2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，解得 x＝5，
∴AE＝10，OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
25．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；
（2）解：作AE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．
26．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DC＝AB．
27．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）
【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8≈11.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m．
28．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
29．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【解答】（1）作图如下：
（2）根据网格图知：AB＝4，
线段AB所扫过的图形为圆心角为90°，半径为4的扇形，
其面积为S＝π 42＝4π．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切．
【解答】解：（1）连接DN，ON
∵⊙O的半径为，
∴CD＝5
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD＝5，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8
∵CD为直径
∴∠CND＝90°，且BD＝CD
∴BN＝NC＝4
（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝AB，
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．
第1页（共3页）
一、选择题（共10小题）
1．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内
C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内
3．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
6．下列说法错误的是（ ）
A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点
C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
7．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
8．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
10．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
二、填空题（共10小题）
11．一个扇形的面积是12πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 cm．
12．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，则BC的长为 ．
13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 ．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 ．
16．已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形外接圆的半径是 ．
17．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
18．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 ．
19．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 °．
20．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2＝BD BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
24．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．
25．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
26．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
27．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）
28．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
29．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留π）
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切．
北师大新版九年级（下）《第3章 圆》常考题套卷（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
【解答】解：如图：
BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，
故选：B．
2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内
C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内
【解答】解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，
即点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
3．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD＝S
则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC+S△COD+S△DOA
＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；
方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，
故选：C．
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝40 m，
∴AD＝DB＝20 m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25（m），
∴这段弯路的半径为25 m
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点
C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
【解答】解：A、如果直径平分的弦也是直径的话，此种情况是不成立的；
但是如果说垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧就是正确的结论；
B、因为半径是6，而圆心到直线的距离是5，因此圆与直线相交，并且有两个交点；
C、如果三角形的外心在三角形的外部，那么三角形在外接圆中，有一个角相对应的弧必定是优弧，因此三角形是钝角三角形；
D、由于三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此到三边的距离都是内切圆的半径，因此该结论也是正确的．
故选：A．
7．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．130°
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
8．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
10．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝35°，
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．一个扇形的面积是12πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 6 cm．
【解答】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得＝12π，
解得r＝±6（负值舍去）．
故答案为6．
12．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，则BC的长为 8 ．
【解答】解：∵BD＝CD，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为8．
13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 π ．
【解答】解：l＝＝＝π．
故答案为π．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝BC AD﹣＝×4×2﹣＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
15．已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 30° ．
【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，
∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．
故答案为30°．
16．已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形外接圆的半径是 2.5cm ．
【解答】解：∵三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，32+42＝52，
∴此三角形是以5cm为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为5÷2＝2.5cm．
故答案为：2.5cm．
17．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ 1 ．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1．
故答案为1．
18．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 30°或150° ．
【解答】解：如图边AB与半径相等时，
则∠AOB＝60°，
当等径角顶点为C时，∠C＝∠AOB＝30°，
当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180°，∠D＝150°，
故答案为：30°或150°．
19．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 54 °．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，
∴＝，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴＝，∠BAE＝108°，
∴＝，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故答案为：54．
20．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2＝BD BA；
（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BDC，
又∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
即BC2＝BA BD；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵四边形EBOC是平行四边形，
∴OC∥BE，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△ODC和△OAC中
，
∴△ODC≌△OAC，
∴∠ODC＝∠OAC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠F＝30°，
∴∠FOD＝60°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵四边形EBOC是平行四边形，
∴OC＝BE＝8，
在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4
∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD
＝2××4×4﹣
＝16﹣π．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC DE，
∴DE＝＝＝．
24．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．
【解答】解：连接BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
设AO＝x，则OC＝OD﹣CD＝x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2＝AC2+OC2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，解得 x＝5，
∴AE＝10，OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
25．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；
（2）解：作AE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．
26．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DC＝AB．
27．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）
【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8≈11.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m．
28．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
29．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段AB所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【解答】（1）作图如下：
（2）根据网格图知：AB＝4，
线段AB所扫过的图形为圆心角为90°，半径为4的扇形，
其面积为S＝π 42＝4π．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切．
【解答】解：（1）连接DN，ON
∵⊙O的半径为，
∴CD＝5
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD＝5，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8
∵CD为直径
∴∠CND＝90°，且BD＝CD
∴BN＝NC＝4
（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝AB，
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．
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