小题考法(三) 利用导数研究函数的性质 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
2．已知函数f(x)＝ex＋ax2的图象在(1，f(1))处的切线斜率为e＋2，则该切线方程为 (　　)
A．(e＋2)x－y＋2e－1＝0
B．(e＋2)x－y－2e－3＝0
C．x－(e＋2)y－1＝0
D．(e＋2)x－y－1＝0
解析：由题可知f′(x)＝ex＋2ax，f′(1)＝e＋2a＝e＋2，所以a＝1，故f(1)＝e＋1，所以切点(1，e＋1)，所以切线方程为y－(e＋1)＝(e＋2)(x－1)，即(e＋2)x－y－1＝0.
答案：D　
4．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则 (　　)
A．eb＜a B．ea＜b
C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea
解析：当x→－∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于0，
当x→＋∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于＋∞，结
合图象可知，两切线的交点应该在x轴上方，且在曲线y＝ex的
下方，∴0答案：D　
5．(2021·重庆模拟)曲线f(x)＝xln x＋x2－x＋2在点(x0，f(x))(x0>0)处的切线恰好经过坐标原点，则x0＝________.
[提分技巧]
(1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标．
(2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．　　
[提分技巧]
利用函数的单调性求参数的取值范围的思路
(1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立；
(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．　　
[解题微“点”]
切入点 由f(x)是定义在R上的奇函数，得g(x)为奇函数，由xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，得g(x)为x∈R上的增函数，再由g(log3(x2－1))＋g(－1)<0得g(log3(x2－1))隐藏点 解题时注意利用函数的奇偶性进行转化，然后利用单调性脱去“f”号后解不等式
[解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x∈R时，有g(－x)＝x2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，且对于任意正实数x，有xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，即xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0，
所以x>0时g(x)＝x2f(x)是增函数，又因为g(x)为奇函数，所以g(x)为x∈R上的增函数．
由g(log3(x2－1))＋g(－1)<0得g(log3(x2－1))<－g(－1)＝g(1)，
所以log3(x2－1)<1，即0[答案]　D
[典例3]　(2021·济南一模)设a＝2 022ln 2 020，b＝2 021ln 2 021，c＝2 020ln 2 022，则 (　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
[解题微“点”]
[提分技巧]
利用导数解不等式或比较大小的思路
利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，再由单调性比较大小或解不等式问题．　　
[提分技巧]
利用导数研究函数极值、最值的方法
(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
(2)若探究极值点个数，则探求方程f′(x)＝0在所给范围内实根的个数．
(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(4)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，从而得到函数的最值．　　
2．(2021·太原二模)已知函数f(x)＝ex－1－ln x－ax＋a(a∈R)，当x∈[1，＋∞)时，若f(x)≥1恒成立，则a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，0]　　　　　　　 B．(－∞，0)
C．(－1,0] D．[0，＋∞)
2．(新定义问题)(多选)若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的函数为(　　)
A．f(x)＝2－x　　　　　　 B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
对于C，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，当x＞－3时，g′(x)≥0(当且仅当x＝0时等号成立)，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增；
对于D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在定义域R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．故选A、D.
答案：AD　
4．(体现数学应用)如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱
与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱
体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________．
5．(强化数学建模)边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围
成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥．当该棱锥的体积取得
最大值时，其底面棱长为________．
6．(注重开放探究)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：_____________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．