小题考法(一) 空间几何体的表面积、体积 课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
第三板块 立体几何
明明白白知高考　
1．从近两年高考数学试题考查的情况来看，立体几何的题目难度和题量相对稳定，一般以“2小1大”的情况出现，占22分，难度基本是中等，“2小”中的“1小”有时会结合其他知识以压轴小题的形式出现．
2．立体几何高考选择题或填空题的常考点为：
(1)空间几何体的表面积、体积的计算，有时和数学文化、新情境交汇命题，特别要注意的是球的组合体问题，常作为小题的压轴题出现，难度较大．
(2)空间点、线、面之间的位置关系的判定，或空间角的计算，若出现在压轴小题的位置，则一般为立体几何动态问题或翻折问题．
3．立体几何高考解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，“一证一算”，一问是定性分析，一问是定量分析．其中定性分析以线面平行、垂直的证明为主，考查逻辑推理能力及学科素养；而定量分析主要是应用空间向量求线面角、二面角．
融会贯通串知识　
一、主干知识·以点带面
(一)空间几何体的表面积与体积及线面位置关系
续表
四个公理 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
八个定理 (1)线面平行的判定定理：a α，b α，且a∥b a∥α；
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b；
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α；
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b；
(5)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a∩b＝O，a α，b α l⊥α；
(6)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b；
(7)面面垂直的判定定理：l⊥α，l β α⊥β；
(8)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l β l⊥α
续表
(二)空间向量与空间角
三、易错易误·注意防范
1．直观图易错点
对斜二测画法规则掌握不牢．
2．点、线、面的位置关系易错点
(1)空间点、线、面位置关系不清；
(2)平行关系定理使用不当；
(3)垂直关系定理使用不当．
3．利用空间向量求线面角几种常见错误
(1)误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；
(2)误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；
(3)不清楚线面角的范围．
4．利用空间向量求二面角几种常见错误
(1)不会将空间问题转化为向量问题；
(2)不会建系，不会用向量表示直线；
(3)计算错误；
(4)使用定理出错；
(5)书写不规范．
[答案]　(1)D　(2)B
[提分技巧]
1．空间几何体表面积的求解方法
(1)求多面体的表面积时，把各个面的面积相加即可．
(2)求简单旋转体(球除外)的表面积时，代入公式直接求解．
(3)求组合体的表面积时，注意重合部分的处理．
2．空间几何体体积的求解方法
(1)公式法：当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时，可以直接代入各自几何体的体积公式中进行计算．
(2)分割求和法：求不规则几何体的体积时，可以将所给几何体分割成若干个常见的几何体，然后利用求和的方法得出所求几何体的体积．
(3)补形作差法：求不规则几何体的体积时，可以将所给几何体补成常见的规则几何体，然后利用作差的方法得出所求几何体的体积．
(4)等体积转化法：利用三棱锥的特性，即任意一个面都可以作为底面，从而进行换底换高计算，此种方法充分体现了数学的转化思想．
(5)函数求值法：求解体积的最值问题时常构造体积关于底面边长或几何体高的函数，从而利用函数思想求其最值．　　
答案：B
答案：D　
答案：D
[答案]　(1)D　(2)A
[提分技巧]
解决与球有关的组合体的策略
(1)与球有关的组合体问题包括两种情况：一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作出它们的轴截面，球与多面体的组合则通过多面体的一条侧棱、球心和“切点”(或“接点”)作出截面图，把空间问题转化为平面问题后再求解．
(2)当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥、共顶点的三个侧面两两垂直的三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥时，常构造长方体或正方体以确定球的直径．　　
[过关训练]
1．蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早是外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某蹴鞠的表面上有四个点S，A，B，C，满足S-ABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AM⊥SB，侧棱SA＝2，则该蹴鞠的表面积为 (　　)
A．6π B．12π
C．32π D．36π
解析：如图1，取AC中点N，连接BN，SN，
∵N为AC中点，SA＝SC，
∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，
∵SN∩BN＝N，∴AC⊥平面SBN，∵SB 平面SBN，
∴AC⊥SB．
∵SB⊥AM且AC∩AM＝A，∴SB⊥平面SAC，
∵SA 平面SAC，SC 平面SAC，∴SA⊥SB，SB⊥SC，
∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，∴SA，SB，SC三条侧棱两两互相垂直．
答案:B　
2．(2021·南昌二模)四面体ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝2，且AB与CD所成角为60°，则该四面体的外接球表面积为 (　　)
A．10π B．16π
C．18π D．20π
答案:D　
[答案]　BD
[提分技巧]
判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
(2)借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．　　
[过关训练]
1．(多选)(2021·潍坊三模)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列结论正确的是 (　　)
A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
C．如果α∥β，m α，那么m∥β
D．如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n
解析：对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；对于C，若α∥β，m α，则m∥β，故C正确；对于D，若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n平行、相交或异面，故D错误．故选A、C．
答案：AC
2 ．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四个结论中正确
的是 (　　)
A．直线B1C与直线AC所成的角为60°
B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°
C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°
D．直线B1C与直线AB所成的角为 90°
答案：ACD
1． (跨学科综合)碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，
它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和
六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其
六元环的个数为 (　　)
A．12　　　　　　　　　 B．25
C．30 D．36
解析：根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数为37，设有正五边形x个，正六边形y个，则x＋y＝37,5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25，故选B．
答案：B　
2．(体现家国情怀)三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 (　　)
答案：A
答案：BC
解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，
所以OA⊥EF，GF⊥CD，CD∥OB，
所以∠CAO＝∠AOB＝40°，∠OAE＝∠AGF＝90°.
又因为∠EAC＝∠FAG，
所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B．
答案：B　
解析：对于①，因为AD∥B1C1，EF⊥B1C1，所以AD⊥EF.又AD⊥FH，FH∩EF＝F，
所以AD⊥平面FHCE，所以AD⊥CH，正确；
对于②，F在B1D1上，当F在B1时，CH就是CB，显然CB不垂直AD，错误；
对于③，因为EF⊥平面AB1C1D，所以EF⊥AD，同①可得AD⊥CH，正确；
对于④，因为直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线，即平面FHCE⊥平面AB1C1D．又平面FHCE⊥平面ABCD，且平面ABCD∩平面AB1C1D＝AD，所以AD⊥平面FHCE，所以AD⊥CH，正确．
答案：①③④