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十字架模型
教学内容
1、正方形的十字架；
2、矩形中的十字架．
教学过程
诊断1．（2020秋 南山区期末）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝，求CP的长．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
故答案是：＝；
②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴1．
故答案为：1．
（2）解：结论：k．
理由：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴k．
（3）解：如图2中，作PN⊥BC交BC的延长线于N．
由，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴，
∴，
∴EN，PN，
∴CN＝EN﹣EC3，
∴PC．
内化1-1．（2021 南山区二模）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：＝；
【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．
【解答】解：（1）：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴，
∴．
（2）如图②中，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
∴BD，
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴，
∴，
∴EF．
（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴，
∴DG，
∴AG1，
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，
∴x2＝AG2+AE2，
∴x2＝（3﹣x）2+1，
∴x，
∴DE＝EG，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝2，
∴EH，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH1，
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠JFP，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴，∴，
∴FJ，PJ，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝31，
在Rt△BJP中，BP．
解法二：作PH垂直AB于H，证△AEG∽△HGP，求出GH，HP，然后在直角三角形BPH，勾股定理求出BP．
内化1-2．（2022 坪山区一模）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
问题发现：
（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝ ；
②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝ ；
拓展研究：
（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；
解决问题：
（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．
【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴，
故答案为：1；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，
∴∠B＝∠EGF，
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，
即；
（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，
∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
在△BAD和△BCD中，
，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴CMx，
在Rt△CMB中，CMx，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，
∴（x﹣5）2+（x）2＝52，
解得：x1＝0（舍去），x2＝8，
∴CN＝8，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠AFG+∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
内化1-3．（2021 深圳模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且∠AED＝∠BCF，求证：；
（2）如图②，若将（1）中的矩形ABCD改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：；
（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
（2）证明：如图②中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD，
∵∠AED＝∠BCF，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠GDF＝∠ADE，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵AB∥CD,
∴AED＝∠CDG，
∵∠CFD＝∠AED，
∴∠CFD＝∠CDG，
∵∠DCF＝∠GCD,
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，
∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
在△BAD和△BCD中，
，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴CMx，
在Rt△CMB中，CMx，BM＝AM﹣AB＝x﹣6，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，
∴（x﹣6）2+（x）2＝62，
解得：x1＝0（舍去），x2，
∴CN，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠AFG+∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
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教学内容
1、正方形的十字架；
2、矩形中的十字架．
教学过程
诊断1．（2020秋 南山区期末）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝，求CP的长．
内化1-1．（2021 南山区二模）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：＝；
【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．
内化1-2．（2022 坪山区一模）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
问题发现：
（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝ ；
②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝ ；
拓展研究：
（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；
解决问题：
（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．
内化1-3．（2021 深圳模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且∠AED＝∠BCF，求证：；
（2）如图②，若将（1）中的矩形ABCD改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：；
（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
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