专题二 2.2　热点小专题一、函数的零点及函数的应用 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
2.2　热点小专题一、函数的零点及函数的应用
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
03
核心素养微专题(一)
必备知识 精要梳理
1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.
2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.
3.判断函数零点个数的方法:
(1)利用零点存在性定理判断法;
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;
(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.
关键能力 学案突破
热点一
判断函数零点所在的区间
【例1】(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分
图象,则函数g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区
间是(　　)
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案 B　
(2)(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f([f(x)-log2x])=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为(　　)
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
答案 C　
解析 因f(x)在(0,+∞)上单调,且f([f(x)-log2x])=3,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,
又由f(t)=3,∴f(t)=log2t+t=3,观察易知t=2,所以f(x)=log2x+2,
所以g(x)=log2x+x-5,因为g(3)<0,g(4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
【对点训练1】设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(e-1,1) C.(0,e-1) D.(1,e)
答案 D
解析 令f(x)-ln x=k,则f(x)=ln x+k.由f[f(x)-ln x]=e+1,得f(k)=e+1.
又f(k)=ln k+k=e+1,可知k=e.
热点二
判断函数零点的个数
【例2】函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
因为两个函数的图象有两个交点,
所以f(x)有两个零点.故选B.
解题心得判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;
(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;
(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.
【对点训练2】(2020山东滨州二模改编,16)设f(x)是定义在R上且周期为6的周期函数,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)在区间
[-n,n](其中n∈N*)上的零点的个数的最小值为an,则a11=　　　　　.
答案 7　
解析 由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得y=f(x)为奇函数,易知f(0)=0.
可令x=-3,则f(-3+6)=f(-3),
即f(3)=f(-3)=-f(3),可得f(-3)=f(3)=0,
当n=1,2时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0;
当n=3,4,5时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0;
当n=6,7,8时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0;
当n=9,10,11时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0,
f(9)=f(-9)=0,即a11=7
热点三
已知函数零点个数求参数范围
【例3】(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)= 当x∈
[-1,e]时,f(x)的最小值为　　　　　,设g(x)=[f(x)]2-f(x)+a,若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析 当x∈[1,e]时,f(x)=ln x,f(x)为增函数,
所以,f(x)min=f(1)=ln 1=0,当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,
令f'(x)=6x2-6x=0,解得x1=1(舍)或x2=0,
且有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
因为f(-1)=-2-3+1=-4故函数f(x)在[-1,e]上的最小值为-4;
令t=f(x),由g(x)=0,得t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不等实根,
亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图象与直线y=-a有两个交点,
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
【对点训练3】(2020山东淄博4月模拟,7)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,0) B.[-1,+∞)
C.[0,+∞) D.[1,+∞)
答案 B　
解析 要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从函数图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选B.
热点四
函数的应用
【例4】(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er t描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
解题心得解决函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.
【对点训练4】(2020全国Ⅲ,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)= ,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A.60 B.63 C.66 D.69
答案 C
核心素养微专题(一)
例析“逻辑推理”在函数零点问题上的应用
【例1】已知函数f(x)= 设g(x)=kx+1,且函数φ(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为　　　　　.
核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:
函数φ(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限等价于φ(x)在x>0和x<0时函数值有正有负,若φ(x)连续,则在y轴两侧有变号的零点,即f(x)与g(x)的图象在y轴两侧存在交点,且在交点处一个函数的图象穿过了另一个函数的图象.抓住临界情形:
【例2】已知函数f(x)= 若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案 [-1,0)
核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:
函数f(x)= 的零点 f(x)=x3-3|x-a|-a的零点(分段函数 一般函数) 方程x3=3|x-a|+a的根 函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的横坐标(零点 交点).所以由题意知,能让函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的横坐标是负数的,a的取值满足题意.
画图:y=3|x-a|+a是顶点(a,a)在第一、三象限角平分线上“移动”,且开口向上的“V字形”,
当a≥0时,因为3|x-a|+a>0,所以不符合题意,
当a<0时,若x≥a,则有x3=3x-2a,若x由图可知只需讨论射线y=3x-2a,x≥a与y=x3相切的临
界情形即可.
设切点为(m,n)(m<0),由y=x3,得y'=3x2,所以有3m2=3,得m=-1,所以n=(-1)3
=-1,
将切点坐标(-1,-1)代入直线方程y=3x-2a,得a=-1.从而a的取值范围是[-1,0).
【跟踪训练】(2019浙江,9)设a,b∈R,函数f(x)= 若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则(　　)
A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0
C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
答案 C
可以发现分类讨论的依据是 (a+1)与
0的大小关系.