专题二 2.4.1　函数的单调性、极值点、极值、最值 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
2.4.1　函数的单调性、极值点、极值、最值
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.函数的导数与单调性的关系
函数y=f(x)在(a,b)内可导,
(1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;
(2)若f'(x)<0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.
2.函数的导数与单调性的等价关系
函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0 f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0 f(x)在(a,b)上为减函数.
3.函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
4.两个常用结论
(1)ln x≤x-1;(2)ex≥x+1.
5.构造辅助函数的四种方法
(1)移项法:不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;
(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));
(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.
关键能力 学案突破
热点一
求单调区间或讨论单调性(多维探究)
类型一　求不含参数的函数的单调区间
【例1】已知函数h(x)=ln x-ax(a∈R).设f(x)=h(x)+ +(a+1)x,求函数f(x)的单调区间.
解题心得求f(x)的单调区间,需知f'(x)的正负,若f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f'(x)的正负.
【对点训练1】设f(x)=ln x,g(x)= x|x|.令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间.
则G(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
即F'(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴F'(x)≤F'(1)=0,
∴F(x)在定义域(0,+∞)上单调递减.
类型二　讨论含参数的函数的单调性
【例2】设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.
解 f(x)的定义域是(0,+∞).
单调递增.
(2)当a≠1时,g(x)是二次函数,首先讨论f'(x)=0是否有实根,方程g(x)=0对应的Δ=4(a-1)(3a-1).
由x1与x2的表达式知x1由f'(x)>0,可得0x2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增;
由f'(x)<0,可得x1当a>1时,有x1+x2>0且x1x2<0,此时x2<0由f'(x)>0,可得0所以f(x)在(0,x1)上单调递增;
由f'(x)<0可得x>x1,所以f(x)在(x1,+∞)上单调递减.
解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:
分类讨论点1:求导后,考虑f'(x)=0是否有实根,从而引起分类讨论;
分类讨论点2:求导后,f'(x)=0=有实根,但不清楚f'(x)=0的实根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;
分类讨论点3:求导后,f'(x)=0=有实根,f'(x)=0的实根也落在定义域内,但不清楚这些实根的大小关系,从而引起分类讨论.
【对点训练2】(2020全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=2ln x+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;
解 设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c,
其定义域为(0,+∞),h'(x)= -2.
(1)当00;当x>1时,h'(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.
故当且仅当-1-c≤0,即c≥-1时,f(x)≤2x+c.
所以c的取值范围为[-1,+∞).
热点二
讨论函数极值点的个数
【例3】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.
当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,
由g(-1)=1>0,可得x1<-1,
则当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,因此,当a<0时,函数有一个极值点.
解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间→极值→最值→恒成立问题的步骤:
1.求函数定义域;
2.求导→通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”);
3.对参数分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类;
(2)按导函数是否有零点分小类;
(3)在小类中再按导函数零点的大小分小类;
(4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.
【对点训练3】设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)当b> 时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)当b≠0时,求函数f(x)的极值点.
解 (1)函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域为(-1,+∞),
为确定两个根是否都在定义域(-1,+∞)内需要对参数b分类讨论.
由f'(x)>0,可得x>x2,由f'(x)<0,可得-1所以f(x)在(-1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
热点三
求函数的极值、最值
【例4】已知函数f(x)=ln x-kx+k(k∈R),求f(x)在[1,2]上的最小值.
于是f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln 2-k.
(ⅰ)当0(ⅱ)当0≥ln 2-k,即k≥ln 2时,[f(x)]min=f(2)=ln 2-k.
综上所述,当k解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.若有唯一的极值点,则其为最值点.
【对点训练4】(2020北京,19)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
解 (1)因为f(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x,设切点为(x0,12-x0),则-2x0=-2,即x0=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.
(2)显然t≠0,因为y=f(x)在点(t,12-t2)处的切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),令x=0,
热点四
在恒成立中求参数的极值、最值
【例5】设a>0,若ln ≥a|x|对x∈(-1,1)恒成立,求a的最大值.
方法一(分离参数法)
当t=0时,不等式恒成立,
定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件:
(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0.
定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件:
(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0.
在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛比达法则.
【对点训练5】(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=ex-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln 2,f(ln 2))处的切线方程为x-y-2ln 2=0.
(1)求m,n的值;
(2)当x>0时,若k为整数,且x+1>(k-x)[f(x)+x+1],求k的最大值.
令h(x)=ex-x-2,
∵x>0,∴h'(x)=ex-1>0.∴函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)单调递增.
而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零点,
故g'(x)在(0,+∞)存在唯一的零点,设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(α),
又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3),
故①等价于k