专题二 2.3热点小专题二、导数的应用 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
2.3　热点小专题二、导数的应用
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
03
核心素养微专题(二)
必备知识 精要梳理
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0).
2.常用的导数及求导法则
3.函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
关键能力 学案突破
热点一
利用导数求曲线的切线
【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x2-ln(-x),则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为(　　)
A.x-y=0 B.x-y-2=0
C.x+y-2=0 D.3x-y-2=0
答案 A
解析 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-ln x,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-ln x,
f(1)=1,所以f'(x)=2x- ,f'(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即y=x.故选A.
答案 D　
解题心得求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0,y0)求切线方程,利用k=f'(x0),再由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率为k求切线方程,设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点P(x0,y0),则
【对点训练1】(1)(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
(2)(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是　　　　　.
答案 (1)B　(2)y=ex-2e
解析 (1)对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
(2)因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex2-2e-x(x<0),故f'(1)=f'(-1)=e,f(1)=-f(-1)=-e,故切线为y+e=e(x-1),即y=ex-2e.
热点二
已知曲线的切线方程求参数的值
【例2】(2020天津河北区线上测试,17)已知函数f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a=　　　　　,b=　　　　　.
答案 1　-1
解析 将点(e,f(e))代入y=3x-e得f(e)=3e-e=2e,
∵f(x)=axln x-bx,则f'(x)=aln x+a-b,
解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.
【对点训练2】若函数f(x)=x-aln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a=　　　　　.
答案 -1
热点三
求参数的取值范围(多维探究)
类型一　已知函数单调性求参数范围
【例3】(1)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
(2)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为　　　　　.
答案 (1)D　(2)(-∞,-2-2ln 2)
解题心得利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
答案 C
所以h(t)在(0,1]上单调递增.
所以g(t)在[-1,0)上单调递增.
答案 [e-1,+∞)
类型二　已知极值、最值或恒成立求参数范围
答案 B
答案 B
解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.
A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案 C
类型三　已知函数零点情况求参数值或范围
【例5】已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+aln x,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围为　　　　　.
答案 (1,+∞)
解析 函数g(x)的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x∈(0,+∞)内的图象,
当a≤0时,f(x)单调递增,又g(x)单调递减,两者的图象最多只有一个交点,不符合题意.
当a>0时,设φ(x)=f(x)-g(x),
所以φ(x)在(0,a)上单调递减,(a,+∞)上单调递增,
所以φ(x)min=-a2-aln a+a,
因为x→0,x→+∞时,φ(x)→+∞,
所以φ(x)有两个零点当且仅当φ(x)min=-a2-aln a+a<0,解得a>1,即a的取值范围为(1,+∞).
解题心得1.利用导数研究函数零点问题的思路
(1)讨论函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为讨论函数y=g(x)与y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.
(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
2.已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.
答案 C
由h'(x)=0,可得x=2eln x或3x=2eln x或x=e(舍去).
热点四
利用导数求实际问题中的最值
【例6】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1= a2;右侧曲线BO上任一
点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间
满足关系式h2=- b3+6b.已知点B到OO'的距离
为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价 k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低
解 (1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
x (0,20) 20 (20,40)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
解题心得关于三角函数,几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
【对点训练6】(1)(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是 (x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.8万斤 B.6万斤
C.3万斤 D.5万斤
答案 B
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.
(2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为　　　　　cm.
答案 10
令V'(x)=0,解得x1=10,或x2=30(舍去).
当x∈(0,10)时,V'(x)>0,函数V(x)单调递增;当x∈(10,30)时,V'(x)<0,函数V(x)
核心素养微专题(二)
例析“数学建模”在导数研究函数中的应用
【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=ln x,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为(　　)
A.1 B.2+ln 2
C.2-ln 2 D.2
答案 D　
解析 设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=et,所以x2-x1=et-t+1,
令h(t)=et-t+1,则h'(t)=et-1,
所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以h(t)min=h(0)=2.
核心素养分析要求x2-x1的最小值,需要建立关于x2-x1的函数模型,即用某一个量表示出x2-x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和x1,从而得到关于x2-x1的函数模型,研究函数模型得出最值.
答案 C