专题二 2.4.2 应用导数求参数的值或范围 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
2.4.2　应用导数求参数的值或范围
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.函数不等式的类型与解法
(1) x∈D,f(x)≤k f(x)max≤k; x∈D,f(x)≤k f(x)min≤k;
(2) x∈D,f(x)(3) x∈D,f(x)≤g(x) f(x)max≤g(x)min; x∈D,f(x)≤g(x) f(x)min≤g(x)max.
2.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(1) x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值.
(2) x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值.
(3) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值.
(4) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值.
(5) x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2) f(x)在[a,b]上的值域与g(x)在[c,d]上的值域交集非空.
(6) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)=g(x2) f(x)在[a,b]上的值域 g(x)在[c,d]上的值域.
(7) x2∈[c,d], x1∈[a,b],f(x1)=g(x2) f(x)在[a,b]上的值域 g(x)在[c,d]上的值域.
关键能力 学案突破
热点一
求参数的值
【例1】已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)略;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
解 (1)略.
(2)f(x)=ex(1-ax2e-x),
设函数h(x)=1-ax2e-x.
f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.
(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;
(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.
当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.
解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.
【对点训练1】已知函数f(x)=ax- ,a∈R.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;
(2)若y=f(x)的图象与y=a相切,求a的值.
显然h'(t)在(0,+∞)上单调递减,且h'(1)=0,
所以当00,h(t)单调递增;
当t>1时,h'(t)<0,h(t)单调递减,
所以当且仅当t=1时h(t)=0.故a=1.
热点二
已知函数极值、最值情况求参数范围
【例2】已知函数f(x)= -a(x-ln x).
(1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.
当a≤0时,对于 x∈(0,+∞),ex-ax>0恒成立,∴f'(x)>0 x>1,f'(x)<0 0∴f(x)单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1).
(2)若f(x)在(0,1)内有极值,
则f'(x)=0在x∈(0,1)内有解.
设H(x)=ex-ax,则H'(x)=ex-a<0,x∈(0,1),∴H(x)在x∈(0,1)单调递减.
∵H(0)=1>0,H(1)=e-a<0,∴H(x)=ex-ax在x∈(0,1)有唯一解x0.
∴有:
x (0,x0) x0 (x0,1)
H(x) + 0 -
f'(x) - 0 +
f(x) 递减 极小值 递增
故当a>e时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.
当a≤e时,当x∈(0,1)时,f'(x)<0恒成立,f(x)单调递减,f(x)在(0,1)内无极值.
综上,a的取值范围为(e,+∞).
解题心得f'(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f'(x)=0有解,由此得出a的范围,还必须由a的范围验证f(x)在(0,1)内有极值.
【对点训练2】(2020江西名校大联考,理21)已知函数f(x)= +x
(a∈R).
(1)当a=0时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,求实数a的取值范围.
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,所以函数F(x)在(1,+∞)上单调递增,
又F(1)=2-a,故①当a≤2时,F(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,无极值;
当x>2时,G'(x)>0,函数G(x)在(2,+∞)上单调递增,G(2)=3-ln 2>0,所以在(2,+∞)上,G(x)>0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+1>0,
所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值.
综上,若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,则a>2.
故实数a的取值范围为(2,+∞).
热点三
在不等式恒成立中求参数范围
【例3】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)略;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
解 (1)略.
(2)方法一(分离参数法)
②当a>1时,令g(x)=f'(x),则g'(x)= >0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,于是f'(x)>f'(1)=2-a.
(ⅰ)若2-a≥0,即10,于是f(x)在(1,+∞)上单调递增,于是f(x)>f(1)=0.
(ⅱ)若2-a<0,即a>2时,存在x0∈(1,+∞),使得当1综上所述,a的取值范围是(-∞,2].
解题心得对于恒成立求参数范围问题,最值法与分离参数法是两种最常用的方法.如果分离后的函数容易求最值,则选用分离参数法,否则选用最值法.最值法主要考查学生分类讨论的思想,一般遵循“构造函数——分类讨论”两步来展开.一些稍难的恒成立问题,如果用分离参数法来处理,往往需要多次求导和使用洛比达法则.
【对点训练3】(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
(2)由题意a>0,当0当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
热点四
在两变量不等式恒成立中求参数范围
解 (1)略;
令g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4)>0,
当m<0或m>4时,g(x)=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1+x2=m,x1x2=m.
当m<0时,两根一正一负,不符合题意.
当m>4时,两个根为正,f(x)有两个极值点x1,x2,
所以h(m)在(4,+∞)上为减函数.所以h(m)所以a≥ln 2,即a的取值范围是[ln 2,+∞).
解题心得对于含有两个变量的不等式恒成立求参数问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数.对于求参数的范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值得参数的范围;如果变量不易分离,可以对参数进行讨论,看参数在什么范围不等式成立,从而求出参数范围.
解 (1)略;
(2)当a=-1时,f(x)=-ln x-x2+1,不妨设0热点四
已知函数零点情况求参数范围
【例5】已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(2ex+1)(aex-1),显然2ex+1>0.
①当a≤0时,aex-1<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在R上单调递减.
(2)(方法一)①当a≤0时,由(1)可知,f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点.
令h(x)=ex+x-1,则h'(x)=ex+1>0,
所以h(x)在R上单调递增,
而h(0)=0,所以当x<0时,h(x)<0,当x>0时,h(x)>0,于是当x<0时,g'(x)>0,当x>0时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
g(0)=1,当x→-∞时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0+.
函数g(x)的简图如图所示.
若f(x)有两个零点,则y=a与g(x)有两个交点,所以a的取值范围是(0,1).
解题心得对函数的零点问题,解题策略是转化为两个函数图象的交点,三种方式中(一平一曲、一斜一曲、两曲)最为常见的是一平一曲.方法一是直接考虑函数f(x)的图象与x轴的交点情况,方法二是分离参数法,两种方法的本质都是一平一曲.另外我们对某些函数或许可以通过换元,降低函数的解决难度.
【对点训练5】(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4且x>2ln(2a)时,