专题三 3.3 三角大题 三角变换与解三角形 课件（共53张PPT）
文档属性
| 名称 | 专题三 3.3 三角大题 三角变换与解三角形 课件（共53张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-20 00:49:45 | ||
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文档简介
(共53张PPT)
3.3 三角大题 三角变换与解三角形
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
03
核心素养微专题(三)
必备知识 精要梳理
1.三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.
(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α= [(α+β)+(α-β)].
(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:一般是切化弦.
2.解三角形的公式变形
3.三个等价关系
在△ABC中,a>b sin A>sin B A>B.
关键能力 学案突破
热点一
三角函数与三角变换的综合
【例1】(2020北京海淀二模,17)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.
(1)求f(0)的值;
(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知
解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.
解题心得1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.
因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,
热点二
利用正弦定理、余弦定理解三角形
解 方案一:选条件①.
解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为三角形外接圆的半径)能够实现边角互化.
2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
热点三
三角函数与解三角形的综合
所以f(x)的最大值为3,即c=3.
若选①,由acos B+bcos A=2ccos C及正弦定理可得
sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,即sin(A+B)=2sin Ccos C,
解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围.
【对点训练3】(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2 sin xcos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.
(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;
(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求 的取值范围.
热点四
三角变换与解三角形的综合
【例4】(2020天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(1)求角C的大小;
(2)求sin A的值;
解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A,
b=2Rsin B,c=2Rsin C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如cos A= 将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制,还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.
【对点训练4】(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
热点五
三角函数、三角变换与解三角形的综合
【例5】(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,最终求出结果.
【对点训练5】(2020浙江,18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin A- a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
核心素养微专题(三)
核心素养在三角应用和三角综合题中的考查
【例1】(多选)(2020山东济南三模,10)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,假设和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.若球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,则
tan α的值为( )
答案 AD
解析 因为AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,有两种情况,一种是球先和球台边框DC碰撞,另一种是球先和球台边框BC碰撞,
第一种情况如图,A关于DC的对称点为E,C
关于AB的对称点为F.
第二种情况如图,A关于BC的对称点为G,C关于AD的对称点为E.
核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,通过“直观想象”得到两种不同的碰撞情况;然后利用物理学中光的反射定律,通过“数学抽象”得到关于角α所在的直角三角形;再通过“数学建模”将问题转化为三角函数的模型;最后通过“数学运算”得出答案.
【例2】(2020山东淄博4月模拟,18)已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN= ,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;
(2)若c= ,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题,在解三角形的题境下,将等差数列与余弦定理的知识相结合,将函数和正弦定理的知识相结合,应用到一个问题中.使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决.考查了“数学建模”“数学运算”素养和知识的应用能力、迁移能力,同时也考查了方程与函数的思想.
3.3 三角大题 三角变换与解三角形
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
03
核心素养微专题(三)
必备知识 精要梳理
1.三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.
(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α= [(α+β)+(α-β)].
(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:一般是切化弦.
2.解三角形的公式变形
3.三个等价关系
在△ABC中,a>b sin A>sin B A>B.
关键能力 学案突破
热点一
三角函数与三角变换的综合
【例1】(2020北京海淀二模,17)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.
(1)求f(0)的值;
(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知
解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.
解题心得1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.
因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,
热点二
利用正弦定理、余弦定理解三角形
解 方案一:选条件①.
解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为三角形外接圆的半径)能够实现边角互化.
2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
热点三
三角函数与解三角形的综合
所以f(x)的最大值为3,即c=3.
若选①,由acos B+bcos A=2ccos C及正弦定理可得
sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,即sin(A+B)=2sin Ccos C,
解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围.
【对点训练3】(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2 sin xcos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.
(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;
(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求 的取值范围.
热点四
三角变换与解三角形的综合
【例4】(2020天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(1)求角C的大小;
(2)求sin A的值;
解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A,
b=2Rsin B,c=2Rsin C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如cos A= 将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制,还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.
【对点训练4】(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
热点五
三角函数、三角变换与解三角形的综合
【例5】(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,最终求出结果.
【对点训练5】(2020浙江,18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin A- a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
核心素养微专题(三)
核心素养在三角应用和三角综合题中的考查
【例1】(多选)(2020山东济南三模,10)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,假设和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.若球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,则
tan α的值为( )
答案 AD
解析 因为AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,有两种情况,一种是球先和球台边框DC碰撞,另一种是球先和球台边框BC碰撞,
第一种情况如图,A关于DC的对称点为E,C
关于AB的对称点为F.
第二种情况如图,A关于BC的对称点为G,C关于AD的对称点为E.
核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,通过“直观想象”得到两种不同的碰撞情况;然后利用物理学中光的反射定律,通过“数学抽象”得到关于角α所在的直角三角形;再通过“数学建模”将问题转化为三角函数的模型;最后通过“数学运算”得出答案.
【例2】(2020山东淄博4月模拟,18)已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN= ,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;
(2)若c= ,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题,在解三角形的题境下,将等差数列与余弦定理的知识相结合,将函数和正弦定理的知识相结合,应用到一个问题中.使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决.考查了“数学建模”“数学运算”素养和知识的应用能力、迁移能力,同时也考查了方程与函数的思想.
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