专题四 4.2.1　等差、等比数列的综合问题 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
4.2.1　等差、等比数列的综合问题
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
03
核心素养微专题(四)
必备知识 精要梳理
1.判断给定的数列{an}是等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d是常数(n∈N*).
(2)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数).
(3)前n项和法:数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn(A,B是常数且A2+B2≠0).
(4)等差中项法:an+an+2=2an+1(n∈N*).
2.若数列{an},{bn}为等差数列且项数相同,则{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差数列.
3.判断给定的数列{an}是等比数列的方法
关键能力 学案突破
热点一
等差(比)数列的判断与证明
【例1】(2020山东淄博4月模拟,18)已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3n-1,
bn=an+n.
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和.
解题心得1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差(比)数列的方法常用定义法.
2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.
【对点训练1】(2019全国Ⅱ,理19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
热点二
等差数列的通项及求和
【例2】(2019全国Ⅰ,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解 (1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5,得a1+4d=0.
由a3=4,得a1+2d=4.
可得a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
解题心得a1,n,d是等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.
【对点训练2】(2020海南天一大联考第三次模拟,17)对于由正整数构成的数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An也是{An}中的项,则称{An}为“Q数列”.设数列{an}满足a1=6,8≤a2≤12.
(1)请给出一个{an}的通项公式,使得{an}既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由;
(2)根据你给出的通项公式,设{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>100的正整数n的最小值.
解 (1)给出的通项公式为an=2n+4,a1=6,a2=8符合题意.
因为对任意n∈N*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,
所以{an}是公差为2的等差数列.
对任意m,n∈N*且m≠n,
am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2,
所以{an}是“Q数列”.
因为Sn单调递增,且S7=72+5×7=84<100,S8=82+5×8=104>100,
所以n的最小值为8.
注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容:
②an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6.
热点三
等比数列的通项及求和
【例3】(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
解 (1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q= (舍去),q=2.
因为a1q2=8,所以a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
解题心得1.已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.
2.若已知条件没有明确数列{an}是等比数列,而是已知an=f(Sn)的关系式,在转化此条件时,通常有两种思路,一是将an用Sn-Sn-1代替,二是由an=f(Sn)推出an-1=f(Sn-1),两式作差,消去Sn.
【对点训练3】(2020四川绵阳三模,理17)若数列{an}的前n项和为Sn,已知
热点四
等差、等比数列的综合问题
【例4】(2020安徽合肥4月质检二,理17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,S7=14,数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn= .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=bncos(anπ),求数列{cn}的前2n项和T2n.
两式相除得bn=2n(n≥2).
当n=1时,b1=2,适合上式,∴bn=2n.
解题心得对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化成方程或方程组,求出首项、公差、公比等基本量,再由基本量求出题目要求的量.
【对点训练4】(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
热点五
等差、等比数列的存在问题
【例5】(2020山东新高考模拟,17)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,说明理由.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列,　　　　　,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1解 因为在等比数列{bn}中,b2=3,b5=-81,所以公比q=-3,从而bn=b2(-3)n-2
=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.
若存在k,使得Sk>Sk+1,即Sk>Sk+ak+1,从而ak+1<0;
同理,若使Sk+10.
若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,又a5=-1,则可得a1=-13,d=3,
所以an=3n-16,
当k=4时,能使a5<0,且a6>0成立;
若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{an}为递减数列,
故不存在ak+1<0,且ak+2>0;
解题心得从三个给出的选择性条件中,选择自己好理解的条件是解题的关键,将已知的条件通过逻辑推理进行转换是解题的突破口,较强的运算能力是拿到满分的重要保证.
所以an=3+2(n-1)=2n+1.
若选③数列{a2n}的前5项和为65,则a2+a4+a6+a8+a10=65,
即5a1+25d=65,解得a1=3.所以an=3+2(n-1)=2n+1.
所以bn+1>bn可转化为bn+1-bn>0,即5-2n>0,解得n<2. 5,则n=1,2,即b3>b2>b1;
bn+12. 5,则n=3,4,5,…,即b3>b4>b5>….
核心素养微专题(四)
求解等差、等比数列的应用题
【例1】(2020安徽合肥一中模拟,文12)如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC是边长为2的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3是分别以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的圆弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈,然后又以A为圆心,AA3为半径画圆弧,……,这样画到第n圈,则所得螺旋线的长度ln为(　　)
答案 B
解析 第一圈的三段圆弧为CA1,A1A2,A2A3,第二圈的三段圆弧为A3A4,A4A5,A5A6,…,第n圈的三段圆弧为A3(n-1)A3n-2,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n.各段圆弧的长度分别为
核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,从题目所给的几何图形中通过“数学抽象”得到一组数据;再通过“数学建模”将问题转化为等差数列模型;然后对等差数列模型的各项数值通过“数据分析”得到等差数列的项数和公差;最后通过“数学运算”得出答案.
【跟踪训练1】(2019四川绵阳模拟,理16)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是　　　　　.
【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1的中点,E1,F1,G1分别为EB1,FB1,B1G的中点,E2,F2,G2分别为E1B1,F1B1,B1G1的点,……,依此类推,令三棱锥B-A1B1C1的体积为V1,三棱锥F-EB1G的体积为V2,三棱锥的体积为F1-E1B1G1的体积为V3,……,则V1+V2+V3+…+Vn=(　　)
答案 C
核心素养分析本例考查三个核心素养,考生在读懂题意的基础上,需要从题目所给的正方体中通过“数学抽象”得到三棱锥的一组体积数据;再通过“数学建模”将问题转化为等比数列模型;然后对等比数列通过“数学运算”得出答案.