专题五 5.2　空间点、线、面的位置关系及空间角与距离专项练 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
5.2　空间点、线、面的位置关系及空间角
与距离专项练
第三部分
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
考向训练 限时通关
必备知识 精要梳理
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:a α,b α,a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理:a∥α,a β,α∩β=b a∥b.
(3)面面平行的判定定理:a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:a β,a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β.
3.空间角的求法
(1)定义法求空间角
求空间角的大小,一般是根据相关角(异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角)的定义,把空间角转化为平面角来求解.
(2)向量法求空间角
利用空间向量来求解,首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,把直线的方向向量与平面的法向量求出来,然后进行坐标运算,要注意所求的角与两向量夹角之间的关系.
4.空间中点到平面的距离的求法
(1)定义法:过点向平面作垂线,点与垂足的距离.
(2)“等积法”:求解点到平面的距离常转化为锥体的高,利用三棱锥体积公式求点到平面的距离.
考向训练 限时通关
考向一
空间直线、平面位置关系的判定
1.(多选)设有下列四个命题,其中真命题有(　　)
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行
D.若直线l 平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l
答案 AD　
解析 A是真命题,由平面基本性质易知;B是假命题,当三点共线时有无数个平面;C是假命题,两条直线还可能异面;由线面垂直的定义知D是真命题.
2.(2019全国Ⅱ,理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
答案 B　
解析 由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
3.(多选)(2020山东济宁二模,10)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中正确的是(　　)
A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β
B.如果m α,α∥β,那么m∥β
C.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l
D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β
答案 ABC　
解析 如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β,故A正确;如果m α,α∥β,那么m∥β,故B正确;如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l,故C正确;如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么平面α,β平行或者相交,故D错误.
4.(多选)(2020山东肥城一模,10)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是(　　)
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
答案 CD　
解析 因为BD∥平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,四边形EFGH是平行四边形或梯形.
考向二
求异面直线所成的角
答案 C　
6.(2020山东青岛二模,6)已知四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,点E,F分别在线段PA,PC上,且EF∥底面ABCD,则异面直线EF与PB所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 D
解析 连接AC,BD,设AC∩BD=O,则EF 平面PAC.平面PAC∩平面ABCD=AC,由EF∥底面ABCD,可得EF∥AC.由四边形ABCD为菱形,可得AC⊥BD.由O为AC的中点,PA=PC,可得PO⊥AC.因为BD∩OP=O,BD 平面PBD,PO 平面PBD,所以AC⊥平面PBD.
又因为PB 平面PBD,则AC⊥PB.又因为EF∥AC,
可得EF⊥PB,即异面直线EF与PB所成角的大小
为90°.
7.(2020浙江湖州模拟,14)如图,圆柱O1O2的底面圆半径为1,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,若A,C两点间的距离为 ,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为　　　　　.
考向三
求直线与平面所成的角
8.(2020山东,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角为(　　)
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案 B
解析 由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则∠AOB=40°,∴∠COA=50°.
又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.
∴晷针与点A处的水平面所成角为40°,故选B.
9.(2020河北唐山一模,10)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,PA⊥底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=2,若球O的表面积为36π,则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为(　　)
答案 B
解析 如图所示,
∵AB=AD,BC=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.∴∠ABC=∠ADC,
易知A,B,C,D四点共圆,
则∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°.
∴四边形ABCD的外接圆直径为
10.(2020福建厦门5月质检,11)一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,∠B=∠F=90°,
∠A=60°,∠D=45°,BC=DE.现将两块三角板拼接在一起,取BC中点O与AC中点M,则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是(　　)
A.AC B.AF C.BF D.CF
答案 B　
解析 因为O,M为中点,所以OM∥AB,所以OM⊥BC.又因为OF⊥BC,且OM∩OF=O,所以BC⊥平面OMF.所以BF,CF与平面OFM所成的角分别为∠BFO和∠CFO,均等于45°.根据直线与平面所成角的定义知,AC与平面OFM所成的角为∠CMO=∠A=60°.故只有AF与平面OFM所成的角不为定值.
考向四
求二面角
11.(2020山东枣庄八中月考,5)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,
则二面角P-BC-A的大小为(　　)
A.60° B.30° C.45° D.15°
答案 C　
解析 由条件得,PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.故选C.
12.(2020山东高密模拟,6)第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日,在中国上海举行,气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖,层叠出挑,制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑,总高度为60.3米,上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台,上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米,则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为(　　)
A.20° B.28°
C.38° D.48°
答案 C
答案 A
考向五
求空间距离
答案 B
∴BC=CD=2.又BD=2,∴△BCD为正三角形.取△BCD中心H,连接OH,HC,则OH⊥平面BCD,∴OH⊥HC.
答案 B
16.(2020湖南株洲模拟,12)如图,直角梯形ABCD,∠ABC=90°,CD=2,
AB=BC=1,E是边CD中点,△ADE沿AE翻折成四棱锥D'-ABCE,则点C到平面ABD'距离的最大值为(　　)
答案 B
解析 由翻折过程可得,在如图所示的四棱锥D'-ABCE中,底面ABCE为边长是1的正方形,侧面D'EA中,D'E⊥AE,且D'E=AE=1.∵AE⊥D'E,AE⊥CE,D'E∩CE=E,
∴AE⊥平面D'CE.
作D'M⊥CE于点M,作MN⊥AB于点N,连接D'N,
则由AE⊥平面D'CE,可得D'M⊥AE,∴D'M⊥平面ABCE.
又AB 平面ABCE,∴D'M⊥AB.
∵MN⊥AB,D'M∩MN=M,∴AB⊥平面D'MN.
在△D'MN中,作MH⊥D'N于点H,则有AB⊥MH,又AB∩D'N=N,
∴MH⊥平面ABD'.又由题意可得CE∥平面ABD',∴MH即为点C到平面ABD'的距离.在Rt△D'MN中,D'M⊥MN,MN=1,设D'M=x,则0