第4练　函数的图象与性质 课件（共55张PPT）

(共55张PPT)
函数的图象与性质
第4练
专项典题精练
高考汇编
A.3 B.6 C.9 D.12
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√
解析　因为－2<1，log212>log28＝3>1，
所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，
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f(log212)＝ ＝ ×2－1＝12× ＝6，
故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
√
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∴f(x)为奇函数，排除A；
3.(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)
√
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∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
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4.(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
A.[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]
C.[－1,0]∪[1，＋∞) D.[－1,0]∪[1,3]
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解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].
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5.(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是
A.[－2,2] B.[－1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
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解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x).
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，
得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
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解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
即有f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(1)＋f(2－1)＝0，
得f(1)＝0，即a＋b＝0. ①
由于f(x＋2)为偶函数，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
即有f(x)－f(4－x)＝0，
所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6. ②
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根据①②可得a＝－2，b＝2，
所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.
根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，
可得函数f(x)的周期为4，
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解析　由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，
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8.(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_____.
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解析　方法一　(定义法)
因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，
所以a＝1.
方法二　(取特殊值检验法)
因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，
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经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三　(转化法)
由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数.
设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，
因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，
经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
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模拟精选
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A.(－∞，－3)∪(－3,0]
B.(－∞，－3)∪(－3,1]
C.(－3,0]
D.(－3,1]
√
∴f(x)的定义域为(－3,0].
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10.(2021·哈尔滨模拟)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝log2(x＋1)＋ax，且f(－3)＝a，则f(7)等于
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√
解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(－3)＝－f(3)＝a，则f(3)＝－a，
∵当x>0时，f(x)＝log2(x＋1)＋ax，
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11.(2021·临川一中模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则此函数可能是
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解得x≠±1，
即f(x)的定义域为{x|x≠±1}，在区间(0,1)上，
e－x－ex<0，x2＋2|x|－3<0，f(x)>0，与所给图象不符；
在区间(0,1)上，ex－e－x>0，x2＋2|x|－3<0，f(x)<0，
在区间(1，＋∞)上，ex－e－x>0，x2＋2|x|－3>0，f(x)>0，与所给图象不矛盾；
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解得x≠±1，
即f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
当x→＋∞时，f(x)→0，与所给图象不符；
在区间(0,1)上，e|x|－1－e1－|x|<0，x5－x<0，f(x)>0，与所给图象不符.
故选B.
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A.(－4,0)∪(4，＋∞)
B.(－∞，－4)∪(0,4)
C.(－4,0)∪(0,4)
D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)
√
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解析　函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
因为f(－4)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f(x)在(－∞，0)上单调递增，
所以由f(x)>0得－4由题知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以由f(x)<0得01
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√
所以f(－x)＝sin(－x)ln(e－x＋ex)＝－sin xln(ex＋e－x)＝－f(x)，
即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，
当且仅当x＝0时取等号，所以ln(ex＋e－x)≥ln 2>ln 1＝0，
当x∈[0，π)时，sin x≥0，
当x∈[π，2π)时，sin x≤0，
所以当x∈[0，π)时，f(x)≥0，
当x∈[π，2π)时，f(x)≤0，故排除A，B.
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∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(－2,0)上单调递减，且f(x)>0，
又f(0)＝0，∴f(x)在(－2,2)上单调递减.
由f(x)的图象关于点(2,0)对称，
得f(x)＝f[2－(2－x)]＝－f[2＋(2－x)]＝－f(4－x)，
又f(x)是奇函数，f(x)＝－f(－x)，
∴－f(－x)＝－f(4－x)，f(－x)＝f(4－x)，
即f(x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期函数，周期为4.
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∴f(－2)＝f(2)，且f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＝f(－2)＝0，
∴f(2k)＝0，k∈Z.
f(x)在(－2,2)上单调递减，
则f(x)在(2 018,2 022)上单调递减，
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15.(2021·临沂模拟)若函数f(x)满足：
(1)对于任意实数x1，x2，当01
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lg x
解析　根据题意，若函数f(x)满足(1)，则函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
若函数f(x)满足(2)，可以考虑f(x)为对数函数，则f(x)可以为lg x.
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解析　已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋1)＝f(x－1)，
则f(x)＝f(x＋2)，
所以函数f(x)是周期为2的周期函数，
其中a∈R，b>0且b≠1.
由f(－1)＝f(1)，可得－a＋1＝0，解得a＝1，
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考情分析
练后疑难精讲
以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性、分段函数求值或分段函数中参数的求解以及函数图象的识别，多以选择题、填空题的形式考查，难度属中档及以上.
一、函数的概念与表示
核心提炼
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
2.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.
题号 1 7 9
二、函数的性质
核心提炼
1.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
3.函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称.
题号 3 4 5 6 8 10 12 14 15 16
三、函数的图象
核心提炼
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
2.由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象.
题号 2 11 13
易错对点精补
A.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
√
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解析　方法一　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
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所以f(x)是奇函数.
又因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
方法二　同方法一得f(x)是奇函数.
又f′(x)＝(x3－x－3)′＝3x2＋3x－4>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
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2.[T11补偿](2021·青岛模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)可能为
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√
解析　由题图，知函数的定义域为R，函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，
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3.[T4补偿](2021·辽阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)是偶函数，f(6)＝3，f(x)在(－∞，4]上单调递减，则不等式f(2x－4)<3的解集为
A.(4,6) B.(－∞，4)∪(6，＋∞)
C.(－∞，3)∪(5，＋∞) D.(3,5)
√
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解析　因为f(x＋4)是偶函数，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，
则f(6)＝f(2)＝3.
因为f(x)在(－∞，4]上单调递减，
所以f(x)在[4，＋∞)上单调递增，
故f(2x－4)<3等价于2<2x－4<6，解得31
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√
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解析　因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)的周期为2，
因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以由f(π)＝1，f(2π)＝2，
可得f(4－π)＝1，f(2π－6)＝2，且4－π，2π－6∈[0,1]，
由1≤x≤2，得0≤2－x≤1，
所以原不等式组的解集为[π－2,8－2π].
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5.[T14补偿](2021·张家口模拟)已知f(x)是R上的奇函数，且对x∈R，有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log241)＝________.
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3
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解析　由题意知，f(x＋2)＝－f(x)，
则f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数，
又由5得f(log241)＝f(log241－4)
＝－f(log241－6)＝f(6－log241).
∵6－log241∈(0,1)，
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6.[T15补偿](2021·湖南六校联考)请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0,1]恒成立，且f(x)在[0,1]上不是增函数”的一个函数_____________
_____________.
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(答案不唯一)