不等式、线性规划、计数原理与二项式定理

第3讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理
命题要点：1不等式:一元二次不等式的基本解法，含参数的一元二次不等式的解法问题；基本不等式的应用，最值问题，基本不等式与向量、三角函数、数列等知识的综合运用。
2.线性规划：求目标函数的最值；以指数、对数函数为背景，求解含参数的取值范围；求解实际问题的最优方案；与向量、不等式等求解目标函数的取值范围和最值。
3.利用基本的计数原理和排列组合等知识解决计数问题。
4.二项式定理：利用通项公式求展开式的特定项，利用二项式的性质求多项式的二项式系数和、各项系数和。
命题趋势:1.对基本不等式的考查不外乎大小判断，求最值，求取值范围等，不等式与函数、数列、三角的综合出现几率较大。
2.线性规划问题仍为高考的重点和热点，考查可行域的最优解和可行域的面积，目标函数中参数的范围。
3.注重两个计数原理是解决一切计数问题的基础，仍会考查学生分析问题，解决问题的能力。
4.对二项式的考查一般比较稳定，主要以考查通项、二项式系数、展开式的系数和，也可以与其他知识综合出现的小综合题。
命题规律:1对不等式基本性质的考查多以选择、填空为主，题目比较简单，而基本不等式是高考热点，主要考查命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。与数列，函数，三角灯知识综合运用，难度较大，多以简答题出现。
2.线性规划多以选择、填空为主，题目难度不会太大，多以中低档为主。
3. 计数原理题型多以选择、填空为主，单独中档。
4.二项式定理的题型多以选择、填空为主，少有综合性答题，难度不大。
题型分析：
类型一 不等式的性质与解法
1．不等式的同向可加性
2．不等式的同向可乘性
3．不等式的解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．
[例1]　(1)(2012年高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
① >；②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．①　　　　　 B．①②
C．②③ D．①②③
(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)[解析]　(1)根据不等式的性质构造函数求解．
∵a>b>1，∴< .
又c<0，∴ > ，故①正确．
构造函数y＝xc.
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．
又a>b>1，∴ac∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．
(2)通过值域求a，b的关系是关键．
由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝(x＋)2.
又∵f(x)即－－∴ 解得 ， ∴
[答案]　(1)D　(2)9

跟踪训练
1.(2012年高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：利用“三个二次”之间的关系．
∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
∴Δ＝a2－4×2a<0，
∴0答案：(0，8)
方法总结：1. （1）二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；
(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
类型二 线性规划
求目标函数最值的一般步骤
(1)作出可行域；
(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．
[例2]　(2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(　　)
A．(1－，2) B．(0，2)
C．(－1，2) D．(0，1＋)
[解析]　利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．
如图，

根据题意得C(1＋，2)．
作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，
过点B(1，3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，
即－(1＋)＋2∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．
[答案]　A

跟踪训练
(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件，则z＝的取值范围是(　　)
A．[0，4] B．[，5]
C．[，6] D．[2，10]
解析：表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率．
根据题意，作出可行域，如图所示，

由图知的最小值是，最大值是，故选B.
答案：B
方法总结：确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
类型三 均值不等式的应用
1. （R）
2. （R）
3. （R）
4. （R）
5.利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[例3]　(2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A. B. C．5 D．6
[解析]　将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．
∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得(＋)＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝(＋4＋9＋)
＝＋(＋)≥＋×2＝5
(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.
[答案]　C

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1.已知x>0，y>0，若>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2解析：因为x>0，y>0，所以≥2＝8.
要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，
解得－4答案：D
2. (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；
(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．
[审题视点] 第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；
第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式．
解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，
∴＋＝＋
＝3＋＋≥3＋2.
当且仅当＝时，取等号．
(2)∵x＞0，
∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案 (1)3＋2 (2)1
3. ?(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[审题视点] 先求(x＞0)的最大值，要使得≤a(x＞0)恒成立，只要(x＞0)的最大值小于等于a即可．
解析 若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是
答案 
方法总结：. (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
类型四 排列与组合
1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题．
2．排列数A＝.
组合数C＝.
3．组合数性质
(1)C＝C；
(2)C＋C＝C.
[例4]　(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．18
C．12 D．6
[解析]　根据所选偶数为0和2分类讨论求解．
当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排列，共有CCA＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．
[答案]　B

跟踪训练
(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为(　　)
A．232 B．252
C．472 D．484
解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解．
分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．
答案：C
方法总结：求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
类型五 二项式定理
1．二项展开式的通项：Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，…，n)．
2．二项式系数为C，C，…，C，…，C(r＝0，1，…n)．
3．用赋值法研究展开式中各项系数之和．
4.(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．
[例5]　(2012年高考安徽卷)(x2＋2)( －1)5的展开式的常数项是(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
[解析]　利用二项展开式的通项求解
二项式(－1)5展开式的通项为：
Tr＋1＝C()5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
[答案]　D

跟踪训练
(2012年郑州模拟)在二项式(x2－)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　)
A．32 B．－32
C．0 D．1
解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，
解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－)5＝0，选C.
答案：C
方法总结：运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
经典作业：
1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )．
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析 ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号．
答案 C
2. (2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )．
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.
答案 C
3. (人教A版教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )．
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)
解析 ∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.
故原不等式的解集为(1,2)．
答案 D
4. (2011·广东)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )．
A. B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞)
解析 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，
∴x＞1或x＜－.
故原不等式的解集为∪(1，＋∞)．
答案 D
5. (人教A版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为
(　　)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2x－y－3＜0
B．2x－y－3＞0
C．2x－y－3≤0
D．2x－y－3≥0
解析　将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0.
答案　B
6. (2011·安徽)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为
(　　)．
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
解析　法一　特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2，排除D，故选B.
法二　直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
答案　B
7. ?(2011·湖北)直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
[审题视点] 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2x＋y－10＝0与4x＋3y－20＝0的斜率即可判断．
解析　由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．
直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，
且斜率k＝－2＜kAB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．
答案　B
8. ?(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)则z＝O·O的最大值为(　　)．
A．3 B．4 C．3 D．4
[审题视点] 作出平行域D，然后解出目标函数z的表达式，用截距法求z的最大值．
解析　画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝O·O＝x＋y，∴y＝－x＋z，令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.
答案　B
9. (2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的
乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝(　　)．
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
解析　设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z＝450x＋350y，由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元．
答案　C
10. (2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )．
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24种排法，当甲排在第二位时，有A·A＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B.
答案 B
11. (2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等．
∴每场比赛甲、乙赢的概率均为，
记甲获冠军为事件A，则P(A)＝＋×＝.
答案：D
12．(2011·浙江)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将随机地并排摆放到同一层上，则书架的同一科目的书都不相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：利用间接法，所有书的摆放方法A＝120，
语文书相邻、数学书相邻共有AAA＝24，
语文书相邻数学书不相邻CAA＋2AA＝24，
数学书相邻，语文书不相邻CAA＋2AA＝24，
∴所有书不相邻的排法120－24×3＝48，
∴所有书不相邻的概率P＝＝.
答案：B
13．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：条件概率P(B|A)＝
P(A)＝＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
答案：B
14. (2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )．
A．80 B．40 C．20 D．10
解析 Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，
当r＝2时，T3＝40x2.
答案 B
15. (人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )．
A．9 B．8 C．7 D．6
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16
∴a0＋a2＋a4＝8.
答案 B
16. (2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr
由已知条件35C＝36C
即C＝3C
＝3
整理得n＝7
答案 B
17. (2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
解析 Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r
由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，
∴a10＋a11＝C－C＝0.
答案 0
18．(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．
(1)求出f(n)的表达式；
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
解 (1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元．
所以，年利润为f(n)＝(10＋n)－100n(n∈N*)．
(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)－100n
＝1 000－80≤520(万元)．
当且仅当＝，
即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．