高三二轮集合与命题

第一讲 集合与常用逻辑用语
命题要点：（1）集合的含义与表示；（2）集合之间的各个基本关系；（3）集合的基本运算。（4）四种命题及其真假判断；(5)特称命题、全称命题及其否定；(6)充分条件、必要条件与充要条件的概念的理解及判定．（7）含有逻辑逻辑联结词的命题真假判定。
命题趋势：1、集合的交、并、补运算是高考的常考内容，主要与不等式、函数的定义域、值域等知识相结合，考查借助数轴或韦恩图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力。结合近几年考情来看，对于集合的基本运算，高考命题以两个集合的交集和补集运算为主，多于绝对值不等式，分式不等式或一元二次不等式相结合进行考查。
2、常用逻辑用语从以下几个方面进行考查;一是充分条件与必要条件的推理判断；二是全称命题与特称命题的真假判断及其否定形式；三是含有逻辑联结词的命题的真假判断。对于充分必要条件的推断判断问题，一般是以其他的数学知识为载体进行考查，如与函数、不等式、数列、解析几何、立体几何等内容相结合进行考查；对于全称命题与特称命题，一般考查它们的否定形式；对于四种命题、逻辑联结词，常与函数、方程、三角、立体几何、解析几何等知识点进行考查。
命题规律：（1）集合高考中几乎每年必考，常以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现与其他知识（函数、不等式）综合的简答题。（2）常用逻辑用语在高考中几乎每年必考，一般以选择题、填空题的形式出现，难度较小。
题型分析
类型一 集合的概念与运算
1．集合中元素的三种性质中互异性对解题的影响最大，特别是含字母参数的集合．
2．集合之间的关系与运算技巧
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
集合的运算性质：A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B；A∩?U(B)＝??A?B.
3．含有n个元素的集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个．
[例1]　(1)(2012年高考湖北卷)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
(2)(2012年高考浙江卷)设集合A＝{x|1A．(1，4) B．(3，4)
C．(1，3) D．(1，2)∪(3，4)
[解析]　(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2 ，∴A＝{1，2}．
由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
(2)首先用区间表示出集合B，再用数轴求A∩(?RB)．
解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴B＝[－1，3]，
则?RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∴A∩(?RB)＝(3，4)．
[答案]　(1)D　(2)B
跟踪训练
1．设全集U＝{x∈Z|≥1}，M∩N＝{1，2}，?U(M∪N)＝{0}，(?UM)∩N＝{4，5}，则M＝(　　)
A．{1，2，3} B．{－1，1，2，3}
C．{1，2} D．{－1，1，2}
解析：由≥1，得－1≥0，即 ≤0，
解得－1答案：A
2．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x| }，若A∩B≠?，则实数b的取值范围是________．
解析：由题意得A＝{x|－1－1.故填b>－1.
答案：(－1，＋∞)
方法总结：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何
非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．
(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
类型二 命题与命题的真假判断
1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题p∧q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈p和p为一真一假两个互为对立的命题．
3．“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是p∧q；命题p∧q的否定是p∨q.
4．含有量词的命题的否定
?x∈M，p(x)的否定是?x∈M，p(x)；
?x∈M，p(x)的否定是?x∈M，p(x)．
5. (1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．
[例2]　(1)(2012年高考湖南卷)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
(2)(2012年高考福建卷)下列命题中，真命题是(　　)
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是 ＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
[解析]　(1)根据原命题与其逆否命题的关系求解．
由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.
(2)应用量词和充要条件知识解决．
对于?x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；
当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；
当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；
当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
[答案]　(1)C　(2)D
跟踪训练
(2012年潍坊模拟)已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，(m＋2)x2＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，0)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：若p为真命题，则m<0；若q为真命题，则m≥－2.所以，若p∧q为真命题，则m∈[－2，0)．
答案：B
方法总结：逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
三条规律
(1)对于“p∧q”命题：一假则假；
(2)对“p∨q”命题：一真则真；
(3)对“?p”命题：与“p”命题真假相反
类型三 充要条件的判断
1．若p?q且qp，则称p是q的充分不必要条件．
2．若pq且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
3．若p?q，则称p是q的充要条件．
4．若pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
[例3]　(2012年高考天津卷)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由条件推结论和结论推条件后再判断．
若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos (x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．
[答案]　A
跟踪训练
1．(2012年长沙模拟)“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a<－2时，f(－1)f(2)＝(－a＋3)(2a＋3)<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点；反过来，当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点时，不能得知a<－2，如当a＝4时，函数f(x)＝ax＋3＝4x＋3在区间[－1，2]上存在零点．
因此，“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件，选A.
答案：A
2．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知，p是q的充分不必要条件，
即p的解集是q的解集的子集．
由p：|1－|≤2?－2≤－1≤2?－1≤≤3?－1≤x≤7，
q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，(*)
不等式(*)的解为1－m≤x≤1＋m，所以1－m≤－1且1＋m≥7，
所以实数m的取值范围是[6，＋∞)．
答案：[6，＋∞)
方法总结：充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
(2)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
经典习题
1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于(　　)．
A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}
C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}
解析　B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}．
答案　D
2. (2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，则集合A∩B＝________.
[审题视点] 先化简集合A，B，再求A∩B.
解析　不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于
或或
解不等式组得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝
[－2,5]．
答案　{x|－2≤x≤5}
3．(2011·浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则(　　)．
A．P?Q B．Q?P C．?RP?Q D．Q??RP
解析　∵?RP＝{x|x≥1}∴?RP?Q.
答案　C
4．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)．
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
解析　∵i2＝－1，∴－1∈S，故选B.
答案　B
5．(2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是
(　　)．
A．(－∞，－1] B. [1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　因为P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案　C
6．(人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.
解析　A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，
∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.
答案　2　　
7．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
解析　①由2＞－3?/ 22＞(－3)2知，该命题为假；
②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，该命题为真；
③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；
∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．
答案　②③
8．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)．
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析　“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案　D
9．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.
答案　B
10．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析　原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.
答案　D
11．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)．
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．
解析　f′(x)＝ex－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D.
答案　D
12．(人教A版教材习题改编)已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则(　　)．　　　　　　　
A．?p：?x0∈R，sin x0≥1 B．?p：?x∈R，sin x≥1
C．?p：?x0∈R，sin x0>1 D．?p：?x∈R，sin x>1
解析　命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
答案　C
13．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则(　　)．
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．?p是真命题 D．?q是真命题
解析　本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有?q是真命题．
答案　D
14．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则(　　)．
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
答案　D
15．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是
(　　)．
A．p、q中至少有一个为真 B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真、q为假
答案　C
16．(2010·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．
答案　存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3　　
17．(2011·广东联考)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集是B，求a，b的值．
[解析]　A＝{x|x2<4}＝{x|－2B＝＝＝{x|－3(1)A∩B＝{x|－2(2)∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，
∴∴a＝4，b＝－6.18. (2012·浙大附中月考)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．
[审题视点] 先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p或q”与“p且q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围．
解　由p得：则m＞2.
由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
则1＜m＜3.
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．
①当p真q假时，解得m≥3；
②当p假q真时，解得1＜m≤2.
∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.