高三二轮复数、向量、算法、推理
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第二讲复数、平面向量、程序框图与合情推理
命题要点：（1）复数的概念与复数的运算。（2）平面向量在解析几何中的运用，平面向量与三角，不等式，方程、函数结合的综合运用（3）算法中的三种基本逻辑机构：顺序结构、条件结构、循环结构。（4）归纳推理与类比推理。
命题趋势：（1）复数主要考查概念、代数运算、求模等，常以课本内容为主。（2）平面向量在高考中主要侧重以下几个方面：向量的概念及其简单的线性运算，以向量作为工具，研究平面向量的共线等问题；平面向量的数量积的运算及其运用，以数量积的条件来判断两向量是否垂直于垂直的条件。（3）算法初步一般以程序框图作为考查的重点，考查学生对算法思想和程序框图的应用。（4）归纳推理和类比推理常与数列、函数、三角灯知识进行综合考查。
命题规律：（1）复数每年高考必考内容，属基础题，以选择题、填空为主。（2）平面向量的概念及线性运算常以三角形或则平行四边形为载体进行命题，主要以选择题、填空题为主，难度不大，以中低档题为主；向量的数量积的运算、化简、证明等问题多以客观题为主，难度不大，侧重对综合能力的考查（3）算法初步是每年高考必考内容，难度不大，属基础题，以选择题、填空题为主；（4）归纳推理和类比推理往往以选择题、填空题的形式出现，考查学生的逻辑思维能力。
题型分析
类型一 复数
(1)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi.
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(3)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈ R)．
特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．
（4）复数的四则运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0)
[例1] (1)(2012年高考天津卷)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)， 是z的共轭复数，则2＋z2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
[解析] (1)利用复数的乘法、除法法则求解．
＝＝＝1＋i.
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，∴＝1－i，2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
[答案] (1)C (2)A
跟踪训练
1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则 在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为 ＝＝＝，
在复平面内对应的点为(，－)，在第四象限，选D.
答案：D
2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直接法．
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
方法总结：1. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可。
2. 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
3. 任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
类型二 平面向量
1．平面向量的线性运算法则
(1)三角形法则；
(2)平行四边形法则．
2．向量共线的条件
存在两非零向量a，b，则
(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0.
3．向量垂直的条件
(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.
4．夹角与模
(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则
①cos θ＝；
②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos θ＝.
(2)若a＝(x，y)，则|a|＝ .
[例2] (1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．
∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
[答案] (1)3 (2)
跟踪训练
1. (2011·兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )．
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析 由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t ，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.
答案 D
2. (2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )．
A. B.
C. D.
解析 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，
∴3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.
答案 D
3. (2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
[审题视点] 由M是BC的中点，得＋＝2.
解析 如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋)
＝·2＝－4||2＝－||2＝－，故填－.
答案 －
方法总结：1. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
3. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．
类型三 算法与程序框图
1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构．
2．循环结构一定包含条件结构．
[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A．8 B．18
C．26 D．80
(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )
A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．P＝
[解析] (1)按照循环条件，逐次求解判断．
运行一次后S＝0＋3－30＝2，运行两次后S＝2＋32－3＝8，运行三次后S＝8＋33－32＝26，此时n＝4，输出S.
(2)采用几何概型法．
∵xi，yi为0~1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，
当＋≤1时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的 圆内，当 ＋>1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．
∴有，N＝4M－M，π(M＋N)＝4M，π＝ .
[答案] (1)C (2)D
跟踪训练
(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为( )
A． B．－1 C. D．2
解析：第一次循环：s＝，i＝2；
第二次循环：s＝－1，i＝3；
第三次循环：s＝2，i＝4；…易知当i＝2 012时输出s，
因为循环过程中s的值呈周期性变化，周期为3，又2 012＝670×3＋2，
所以运行结果与i＝2时输出的结果一致，故输出s＝.
答案：C
方法总结：利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
类型四 合情推理
1．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
2．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．
[例4] (2012年高考陕西卷)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
[解析] 归纳观察法．
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为
[答案]
跟踪训练
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．
解析：由图可得S1＝OM·ON，S2＝OL·ON，
S3＝OM·OL，
S4＝ML·NL·sin ∠MLN
＝ML·NL·
＝ML·NL·
＝· .
∵OM2＋ON2＝MN2，
OM2＋OL2＝ML2，
OL2＋ON2＝LN2，
∴S4＝，
∴ S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S.
方法总结：1. 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论。
2. （1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．
经典作业：
1．(人教A版教材习题改编)复数(i是虚数单位)的实部是( )．
A. B．－ C．－i D．－
解析 －＝－＝
＝－－i.
答案 D
2．(2011·天津)设i是虚数单位，复数＝( )．
A．2－i B．2＋i C．－1－2i D．－1＋2i
解析 ＝(1－3i)(1＋i)＝(4－2i)＝2－i.
答案 A
3．(2011·湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )．
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析 由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根据复数相等得：a＝1，b＝－1.
答案 C
4．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝( )．
A．2－2i B．2＋2i C．1－i D．1＋i
解析 z＝＝＝＝1－i.
答案 C
5．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )．
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
解析 如图，
＝＋
＝＋＝－＋.
答案 A
6．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )．
A．0 B.
C. D.
解析 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
7. (人教A版教材习题改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为( )．
A．(4,3) B．(－4，－3)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)．
答案 C
8. (2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )．
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析 设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜0，∴m＝－1.
答案 A
9. (人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )．
A. B. C. D.
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
答案 C
10. (2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案 D
11. (2011·天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 因为该程序框图执行4次后结束，所以输出的i的值等于4，故选择B.
答案 B
12. (2011·湖南)若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________．
解析 算法的功能是求解三个数x1，x2，x3的方差，输出的是S＝＝.
答案
13. (人教A版教材习题改编)数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )．
A．28 B．32 C．33 D．27
解析 从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x＝20＋12＝32.
答案 B
14. (2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析 根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案 .
15. (2010·安徽)△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
先求sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决．
[解答示范] 由cos A＝，得sin A＝ ＝.
又bcsin A＝30，
∴bc＝156.(4分)
(1)·＝bccos A＝156×＝144
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)
＝1＋2×156×＝25，又a＞0(10分)
∴a＝5。
16. (2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.
[审题视点] 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.
解 ∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)．
∴＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
∴得∴M(0,20)．
同理可得N(9,2)，∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
命题要点：（1）复数的概念与复数的运算。（2）平面向量在解析几何中的运用，平面向量与三角，不等式，方程、函数结合的综合运用（3）算法中的三种基本逻辑机构：顺序结构、条件结构、循环结构。（4）归纳推理与类比推理。
命题趋势：（1）复数主要考查概念、代数运算、求模等，常以课本内容为主。（2）平面向量在高考中主要侧重以下几个方面：向量的概念及其简单的线性运算，以向量作为工具，研究平面向量的共线等问题；平面向量的数量积的运算及其运用，以数量积的条件来判断两向量是否垂直于垂直的条件。（3）算法初步一般以程序框图作为考查的重点，考查学生对算法思想和程序框图的应用。（4）归纳推理和类比推理常与数列、函数、三角灯知识进行综合考查。
命题规律：（1）复数每年高考必考内容，属基础题，以选择题、填空为主。（2）平面向量的概念及线性运算常以三角形或则平行四边形为载体进行命题，主要以选择题、填空题为主，难度不大，以中低档题为主；向量的数量积的运算、化简、证明等问题多以客观题为主，难度不大，侧重对综合能力的考查（3）算法初步是每年高考必考内容，难度不大，属基础题，以选择题、填空题为主；（4）归纳推理和类比推理往往以选择题、填空题的形式出现，考查学生的逻辑思维能力。
题型分析
类型一 复数
(1)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi.
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(3)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈ R)．
特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．
（4）复数的四则运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0)
[例1] (1)(2012年高考天津卷)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)， 是z的共轭复数，则2＋z2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
[解析] (1)利用复数的乘法、除法法则求解．
＝＝＝1＋i.
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，∴＝1－i，2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
[答案] (1)C (2)A
跟踪训练
1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则 在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为 ＝＝＝，
在复平面内对应的点为(，－)，在第四象限，选D.
答案：D
2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直接法．
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
方法总结：1. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可。
2. 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
3. 任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
类型二 平面向量
1．平面向量的线性运算法则
(1)三角形法则；
(2)平行四边形法则．
2．向量共线的条件
存在两非零向量a，b，则
(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0.
3．向量垂直的条件
(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.
4．夹角与模
(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则
①cos θ＝；
②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos θ＝.
(2)若a＝(x，y)，则|a|＝ .
[例2] (1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．
∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
[答案] (1)3 (2)
跟踪训练
1. (2011·兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )．
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析 由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t ，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.
答案 D
2. (2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )．
A. B.
C. D.
解析 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，
∴3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.
答案 D
3. (2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
[审题视点] 由M是BC的中点，得＋＝2.
解析 如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋)
＝·2＝－4||2＝－||2＝－，故填－.
答案 －
方法总结：1. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
3. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．
类型三 算法与程序框图
1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构．
2．循环结构一定包含条件结构．
[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A．8 B．18
C．26 D．80
(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )
A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．P＝
[解析] (1)按照循环条件，逐次求解判断．
运行一次后S＝0＋3－30＝2，运行两次后S＝2＋32－3＝8，运行三次后S＝8＋33－32＝26，此时n＝4，输出S.
(2)采用几何概型法．
∵xi，yi为0~1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，
当＋≤1时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的 圆内，当 ＋>1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．
∴有，N＝4M－M，π(M＋N)＝4M，π＝ .
[答案] (1)C (2)D
跟踪训练
(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为( )
A． B．－1 C. D．2
解析：第一次循环：s＝，i＝2；
第二次循环：s＝－1，i＝3；
第三次循环：s＝2，i＝4；…易知当i＝2 012时输出s，
因为循环过程中s的值呈周期性变化，周期为3，又2 012＝670×3＋2，
所以运行结果与i＝2时输出的结果一致，故输出s＝.
答案：C
方法总结：利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
类型四 合情推理
1．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
2．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．
[例4] (2012年高考陕西卷)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
[解析] 归纳观察法．
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为
[答案]
跟踪训练
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．
解析：由图可得S1＝OM·ON，S2＝OL·ON，
S3＝OM·OL，
S4＝ML·NL·sin ∠MLN
＝ML·NL·
＝ML·NL·
＝· .
∵OM2＋ON2＝MN2，
OM2＋OL2＝ML2，
OL2＋ON2＝LN2，
∴S4＝，
∴ S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S.
方法总结：1. 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论。
2. （1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．
经典作业：
1．(人教A版教材习题改编)复数(i是虚数单位)的实部是( )．
A. B．－ C．－i D．－
解析 －＝－＝
＝－－i.
答案 D
2．(2011·天津)设i是虚数单位，复数＝( )．
A．2－i B．2＋i C．－1－2i D．－1＋2i
解析 ＝(1－3i)(1＋i)＝(4－2i)＝2－i.
答案 A
3．(2011·湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )．
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析 由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根据复数相等得：a＝1，b＝－1.
答案 C
4．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝( )．
A．2－2i B．2＋2i C．1－i D．1＋i
解析 z＝＝＝＝1－i.
答案 C
5．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )．
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
解析 如图，
＝＋
＝＋＝－＋.
答案 A
6．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )．
A．0 B.
C. D.
解析 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
7. (人教A版教材习题改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为( )．
A．(4,3) B．(－4，－3)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)．
答案 C
8. (2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )．
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析 设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜0，∴m＝－1.
答案 A
9. (人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )．
A. B. C. D.
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
答案 C
10. (2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案 D
11. (2011·天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 因为该程序框图执行4次后结束，所以输出的i的值等于4，故选择B.
答案 B
12. (2011·湖南)若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________．
解析 算法的功能是求解三个数x1，x2，x3的方差，输出的是S＝＝.
答案
13. (人教A版教材习题改编)数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )．
A．28 B．32 C．33 D．27
解析 从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x＝20＋12＝32.
答案 B
14. (2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析 根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案 .
15. (2010·安徽)△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
先求sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决．
[解答示范] 由cos A＝，得sin A＝ ＝.
又bcsin A＝30，
∴bc＝156.(4分)
(1)·＝bccos A＝156×＝144
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)
＝1＋2×156×＝25，又a＞0(10分)
∴a＝5。
16. (2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.
[审题视点] 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.
解 ∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)．
∴＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
∴得∴M(0,20)．
同理可得N(9,2)，∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
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