第8练　恒成立问题与能成立问题 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
恒成立问题与能成立问题
第8练
考情分析
恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题.
一、恒成立问题
例1　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
解　当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，
f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，
由于φ′(x)＝ex＋2>0，
故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；
令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，
故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.
②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.
(3)判断含x，ln x，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝ 及ex≥
x＋1，ln x≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号.
跟踪训练1　(2021·郴州质检)已知函数f(x)＝1＋aexln x.
(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴当x＝1时，g(x)取得极小值即最小值g(1)＝1，
∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
(2)若不等式f(x)≥ex(xa－x)(a<0)，对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
解　不等式f(x)≥ex(xa－x) e－x＋x≥xa－aln x e－x－ln e－x≥xa－ln xa，
设k(t)＝t－ln t，即k(e－x)≥k(xa)， (*)
∴当t∈(0,1)时，k′(t)<0，k(t)在(0,1)上单调递减；
当t∈(1，＋∞)时，k′(t)>0，k(t)在(1，＋∞)上单调递增，
∵x∈(1，＋∞)，0当a<0时，0当x∈(1，e)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)min＝h(e)＝e，则－a≤e，∴a≥－e，
又a<0，∴a的取值范围是[－e,0).
二、能成立问题
例2　(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.
(1)求a；
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
设g(x)＝ax－a－ln x，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0，
因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.
综上，a＝1.
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2证明　由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，
当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.
因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点.
由f′(x0)＝0，得ln x0＝2(x0－1)，
故f(x0)＝x0(1－x0).
因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，
由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0，得f(x0)>f(e－1)＝e－2.
所以e－2规律方法　(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法
若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
(2)不等式能成立问题的解题关键点
跟踪训练2　(2021·梧州模拟)已知函数f(x)＝2x－ ＋kln x.
(1)当k＝－3时，求f(x)的极值；
①当k≤0，x∈[1，e]时，h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，
h(x)min＝h(1)＝1＋k＋1<0 k<－2.
∵－2<0，∴k<－2.
②当1x∈(k＋1，e]时，h′(x)>0，
h(x)在区间[1，k＋1]上单调递减，在区间[k＋1，e]上单调递增，
∴h(x)min＝h(k＋1)＝k＋1＋1－kln(k＋1)
＝k＋2－kln(k＋1).
∵1∴2＋k－kln(k＋1)>2，不满足题意.
③当k＋1≥e，即k≥e－1，x∈[1，e]时，
h′(x)≤0，h(x)在[1，e]上单调递减，