第9练　导数与不等式证明 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
导数与不等式证明
第9练
考情分析
导数与不等式证明是高考考查的重点知识，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多次以压轴题出现．
一、单变量函数不等式的证明
例1　(2020·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin2xsin 2x.
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
解　f′(x)＝2sin xcos xsin 2x＋2sin2xcos 2x＝2sin xsin 3x.
证明　因为f(0)＝f(π)＝0，
而f(x)是周期为π的周期函数，
证明　由于
＝|sin3xsin32x…sin32nx|
＝|sin x||sin2xsin32x…sin32n－1xsin 2nx||sin22nx|
＝|sin x||f(x)f(2x)…f(2n－1x)||sin22nx|
≤|f(x)f(2x)…f(2n－1x)|，
规律方法　用导数证明不等式一般有以下的方法：
(1)构造函数法.
(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式.
(3)分成两个函数进行研究.
(4)利用图象的特点证明不等式.
(5)利用放缩法证明不等式.
跟踪训练1　(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝xex(其中e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值；
解　因为f(x)＝xex，
所以f′(x)＝(x＋1)ex，
当x<－1时，f′(x)＝(x＋1)ex<0，f(x)单调递减，
当x>－1时，f′(x)＝(x＋1)ex>0，f(x)单调递增，
g′(1)＝e－1>0，
例2　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ －x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
二、双变量函数不等式的证明
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
①若a≤2，则f′(x)≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
②若a>2，令f′(x)＝0，得
证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1，不妨设x11.
由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0.
规律方法　(1)含参不等式的证明方法：对于含参数的不等式，如果易分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值问题，否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时可作出函数图象(草图)，利用数形结合求解.
(2)破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.
跟踪训练2　(2021·盐城模拟)已知函数f(x)＝x2－ －a.
(1)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；
所以函数r(x)＝x3＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增.
又r(1)＝0，列表如下：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
因为f(x)≥0，即1－a≥0，所以a≤1.
所以a的取值范围是(－∞，1].
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明：x1x2<1.
证明　不妨设x1由(1)可得，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
因为f(x1)＝f(x2)＝0，