第10练　零点问题 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
零点问题
第10练
考情分析
在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多次以压轴题出现.
一、判断零点个数问题
例1　(2019·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数.证明：
证明　设g(x)＝f′(x)，
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；
(2)f(x)有且仅有2个零点.
证明　f(x)的定义域为(－1，＋∞).
①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增，而f′(0)＝0，
所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－1,0)上单调递减，
又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点.
且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，
所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点.
综上，f(x)有且仅有2个零点.
规律方法　利用导数研究函数的零点
(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于0的情况，进而判断函数零点个数.
(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类.
跟踪训练1　(2021·苏州八校联考)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝sin x.
(1)设函数h(x)＝f(x)－(x－1)·g(x)，当x∈[－π，0]时，求函数h(x)零点的个数；
解　由题意可得h(x)＝ex－(x－1)·sin x，
∴h′(x)＝ex－sin x－(x－1)·cos x，
令φ(x)＝ex－sin x－(x－1)cos x，
则φ′(x)＝ex－2cos x＋(x－1)·sin x，
∴h′(x)>0，
∴φ′(x)>0，
又h′(－π)＝e－π－π－1<0，
综合①②可知，h(x)在[－π，x0)上单调递减，在(x0，0]上单调递增，
且h(x)的图象在[－π，0]内连续不断，
∴ x1∈(－π，x0)， x2∈(x0,0)使得h(x1)＝h(x2)＝0，
∴函数h(x)在[－π，0]内零点的个数是2.
(2)求证：g(x)·g′(x)＋1证明　要证明g(x)·g′(x)＋1即证sin x·cos x＋1－x·ex＋ln x<0，
设F(x)＝sin 2x－2x，
则F′(x)＝2cos 2x－2＝2(cos 2x－1)≤0，
∴F(x)在(0，＋∞)内单调递减，
∴F(x)∴sin 2x<2x，
∴要证(*)成立，只需证x＋1－x·ex＋ln x≤0.
方法一　设G(x)＝x＋1－x·ex＋ln x，
又设k(x)＝1－xex，∴k′(x)＝－(x＋1)ex<0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又k(0)＝1>0，k(1)＝1－e<0，
∴ t∈(0,1)使得k(t)＝0，即tet＝1，ln t＋t＝0，
当x∈(0，t)时，G′(x)>0，G(x)单调递增，
当x∈(t，＋∞)时，G′(x)<0，G(x)单调递减，
∴G(x)≤G(t)＝t＋1－t·et＋ln t＝0，
∴原命题得证.
方法二　设H(x)＝ex－x－1，
则H′(x)＝ex－1
∴H(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴H(x)≥H(0)＝0，∴ex≥x＋1，
∴ex＋ln x≥x＋ln x＋1，
∴xex≥x＋ln x＋1，
即证x＋1－x·ex＋ln x≤0成立，
∴原命题得证.
例2　(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
二、由零点个数求参数范围
证明　当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.
设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，
则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.
当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.
(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a.
解　设函数h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.
(ⅰ)当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；
(ⅱ)当a>0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.
当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
因为h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点；
由(1)知，当x>0时，ex>x2，
故h(x)在(2,4a)上有一个零点.
因此h(x)在(0，＋∞)上有两个零点.
规律方法　已知零点个数求参数范围时：
(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；
(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.
跟踪训练2　(2021·重庆模拟)已知函数f(x)＝ ，g(x)＝xln(x＋1).
(1)求f(x)的单调区间；
令h(x)＝ex(x－1)＋1，h′(x)＝xex，
令h′(x)>0，可得x>0，令h′(x)<0，可得x<0，
所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(0)＝0，
所以f′(x)≥0，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递减区间.
(2)设G(x)＝a[xf(x)＋1]＋cos x在区间(0，π]内有不相等的两个零点，求a的取值范围.
解　G(x)＝a[xf(x)＋1]＋cos x＝a(ex－1＋1)＋cos x＝aex＋cos x，
令G(x)＝0，得aex＋cos x＝0，即a＝－e－xcos x，
令y＝－e－xcos x，x∈(0，π]，
因为G(x)在(0，π]内有两个不相等的零点，
则y＝a与y＝－e－xcos x的图象在(0，π]内有两个交点，
y′＝－(－e－xcos x－e－xsin x)＝e－x(sin x＋cos x)
当x＝0时，y＝－1，当x＝π时，y＝－e－πcos π＝e－π，
又因为y＝a与y＝－e－xcos x的图象有两个交点，
所以a的取值范围为 .