第14练　解三角形 课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
解三角形
第14练
专项典题精练
高考汇编
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解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
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所以AB＝3，
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∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
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在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C
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解析　∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
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5.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，
C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为( ≈1.732)
A.346 B.373 C.446 D.473
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解析　如图所示，
根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，
过B作BD∥A′B′，交AA′于D，
在△A′B′C′中，
又在B点处测得A点的仰角为45°，
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所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE
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6.(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝_____.
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∴CF＝CE＝1.
∴在△FCB中，由余弦定理得
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7.(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b；
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证明　因为BDsin∠ABC＝asin C，
所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b>0，所以BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.
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解　如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，
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因为∠BED＝π－∠ABC，
所以cos∠BED＝－cos∠ABC，
化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，
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注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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选条件①.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
选条件②.
选条件③.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
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模拟精选
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即sin Acos B＝2sin Ccos B－sin Bcos A，
得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos B，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos B，得sin C＝2sin Ccos B，
∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，
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又∵a2＝b2＋c2－2bccos A
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11.(2021·哈尔滨三中模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面ABO的下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C
的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝30°，A地测得最高点H的仰角为∠OAH＝45°，则该仪器的垂直弹射高度CH为
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解析　在△ABC中，由余弦定理可得CB2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，
由题意BA＝100，CB＝AC－40，∠BAC＝60°，
整理可得，20AC＝1002－402，解得AC＝420，
在Rt△OAC中，∠OAC＝30°，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
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12.(多选)(2021·重庆育才中学模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c＝ ＋1，则下列说法正确的是
A.C＝75°或C＝105°
B.B＝45°
C.a＝
D.该三角形的面积为
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解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
由于0°1
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13.(2021·长郡中学月考)如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为____________________.
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解析　在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，
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因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
如图，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
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当且仅当c＝b，bc＝b＋c，即c＝b＝2时等号成立，
所以b＋c的最小值为4.
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注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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解　选条件①：
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，解得bc＝12，
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选条件②：
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由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，
由已知可得bc＝(b＋c)2－a2＝36，
∴不存在满足条件的△ABC；
选条件③：
由余弦二倍角公式可得2cos2A＋3cos A－2＝0，
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由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
解得bc＝12，
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16.(2021·盐城模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C.
(1)求sin C的取值范围；
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解　由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π，得2B＋4C＝π，
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(2)若c＝6b，求sin C的值.
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解　因为c＝6b，则由正弦定理得sin C＝6sin B， ①
所以12sin2C＋sin C－6＝0，
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考情分析
练后疑难精讲
解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，难度中等.
一、正弦定理、余弦定理
核心提炼
1.正弦定理及其变形
2.余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
题号 1 2 3 4 10 12
二、解三角形在实际生活中的应用
核心提炼
求实际问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理.
题号 5 11 13
三、正弦定理、余弦定理的综合应用
核心提炼
以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、平面几何等交汇命题.
题号 6 7 8 9 14 15 16
易错对点精补
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所以c＝3，由余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝13，
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2.[T11补偿](2021·南昌模拟)“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有
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此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为
A.65米 B.74米 C.83米 D.92米
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解析　设AC的高度为x，
则由已知可得AB＝3x，BC＝BE＝2x，
所以楼高AB≈3×24.7≈74(米).
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解析　由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，
因为b＝3，所以a2＋c2－9＝ac，
即(a＋c)2－9＝3ac，
当且仅当a＝c＝3时，(a＋c)max＝6，
所以(a＋b＋c)max＝9，
即△ABC的周长的最大值为9.
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在△BFE中，由正弦定理，可得
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5.[T16补偿](2021·贵阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C－sin2A＝sin Bsin C＋cos2B－1.
(1)求A；
解　由已知，sin2C－sin2A＝sin Bsin C－sin2B，
∴sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
在△ABC中，由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
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(2)若△ABC为锐角三角形，且a＝1，求△ABC周长的取值范围.
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