第23练　直线与圆 课件（共54张PPT）

(共54张PPT)
直线与圆
第23练
专项典题精练
高考汇编
1.(2020·全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为
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解析　设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，
由l过定点B(－1,0)，
√
2.(2020·全国Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
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√
解析　圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，
故圆心的坐标为C(3,0)，半径r＝3.
如图，记点M(1,2)，
则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，
3.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝
D.当∠PBA最大时，|PB|＝
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√
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，
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所以直线AB与圆M相离，
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过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，
则当∠PBA最小时，点P与N重合，
故C，D都正确.
4.(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
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若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
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若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
5.(2020·全国Ⅲ)若直线l与曲线y＝ 和圆x2＋y2＝ 都相切，则l的方程为
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所以排除B，C.
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此时方程无解，所以排除A.
6.(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
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解析　⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
即x－2y＋1＝0.
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∴P(－1,0).
又∵点M到直线x＝－1的距离为2，PA与⊙M相切，且A为切点，
∴直线PA即为直线x＝－1，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1).
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0，
将A(－1,1)代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
7.(2016·全国Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝ ，则圆C的面积为___.
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4π
解析　圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，化为标准方程为C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
解得a2＝2，
所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
8.(2016·全国Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－ ＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝ ，则|CD|＝__.
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作出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，
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9.(2021·西安模拟)已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为
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模拟精选
√
解析　由两条直线平行，得m·(－3m)－(－3)×4＝0，解得m＝±2，
当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意.
当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，
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10.(2021·长春模拟)已知直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，且与直线x＋2y＋3＝0垂直，则l的方程为
A.2x＋y＝0 B.2x＋y－3＝0
C.2x－y－4＝0 D.2x－y＋2＝0
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解析　因为直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，
因为直线l与直线x＋2y＋3＝0垂直，
所以直线l的斜率为2，
所以直线l的方程为2x－y＋2＝0.
11.(2021·吕梁模拟)已知直线l：x＋by＋1＝0与圆C：(x＋b)2＋(y＋2)2＝8相交于A，B两点，且△ABC是顶角为 的等腰三角形，则b等于
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解析　因为A，B两点在圆C：(x＋b)2＋(y＋2)2＝8上，
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12.(2021·焦作模拟)已知点A在直线3x＋y－6＝0上运动，点B在直线x－3y＋8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为
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解析　设已知两直线交点为M，
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因此它们垂直，则以AB为直径的圆过点M，
即M(1,3)，
如图，过M作x轴垂线MD，D为垂足，D为圆与x轴切点时圆的半径最小，此时MD即为圆的直径.
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13.(多选)(2021·青岛模拟)已知圆C：x2＋y2－kx＋2y＋ －k＋1＝0，下列说法正确的是
A.k的取值范围是k>0
B.若k＝4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为 ，方程为12x－5y
－16＝0
C.若k＝4，圆C与圆x2＋y2＝1相交
D.若k＝4，m>0，n>0，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，则
≥8恒成立
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解得k>0，故A正确；
对于B，当k＝4时，可得圆C的方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
则圆心(2，－1)到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，x＝3，满足条件，故B不正确；
对于C，当k＝4时，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为(2，－1)，半径r1＝2，圆x2＋y2＝1，圆心为(0,0)，半径r2＝1，
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两圆相交，故C正确；
对于D，当k＝4时，圆C的圆心为(2，－1)，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，可得2m＋n－1＝0 2m＋n＝1，
14.(2021·重庆八中模拟)已知直线l：x－y＋4＝0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为
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解析　设点P(t，t＋4)，
因为PD，PC是圆的切线，
所以OD⊥PD，OC⊥PC，
所以C，D在以OP为直径的圆上，
又C，D在圆x2＋y2＝4上，
则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：tx＋(t＋4)y－4＝0，
即t(x＋y)＋4(y－1)＝0，
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所以直线CD恒过定点Q(－1,1)，
又因为OM⊥CD，M，Q，C，D四点共线，
15.一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于 的直线方程为
________________________.
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x－2y＋c＝0(c<－2或c>8)
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解析　因为所求直线与x－2y＋3＝0平行，
故设所求直线方程为x－2y＋c＝0，
解得c<－2或c>8，
16.(2021·崇左模拟)设点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，过点P引圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)的切线PA，PB(切点为A，B)，若∠APB的最大值为 ，则该圆的半径r等于__.
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解析　设圆的圆心为C(1,0)，
因为点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，
所以当点P到点C的距离最小时，∠APB取得最大值，
此时CP与直线3x－4y＋7＝0垂直，
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考情分析
练后疑难精讲
直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点，考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档.
一、直线的方程
核心提炼
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
题号 1 9 10 15
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
二、圆的方程
核心提炼
圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为(a，b)，半径为r.
题号 2 13 16
三、直线、圆的位置关系
核心提炼
直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr 相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离.
题号 3 4 5 6 7 8 11 12 14
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易错对点精补
1.[T2补偿](2021·淄博模拟)圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为
√
解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
圆x2＋y2＋2x－8＝0可化为(x＋1)2＋y2＝32，
故圆心为(－1,0)，半径为r＝3.
因为(0＋1)2＋12＝2<32，
所以点(0,1)在圆x2＋y2＋2x－8＝0内，
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2.[T11补偿](2021·阜阳模拟)已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝16，直线l：y＝k(x＋2)(k<0)与圆C交于M，N两点，若△CMN为直角三角形，则k等于
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解析　因为△CMN为等腰直角三角形，且圆C的半径为4，
整理得7k2－6k－1＝0，
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3.[T8补偿](2021·黄山模拟)已知直线l：mx＋y＋3m－ ＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点.且A，B在x轴同侧，过A，B分别作x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若|CD|＝3，则∠AOB等于
√
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又|CD|＝3，
4.[T6补偿](2021·上饶模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆C的两条切线l1，l2使得l1⊥l2，切点分别为A，B，则实数k的取值范围是
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C.(－∞，0)
D.[0，＋∞)
√
解析　圆C(2,0)，半径r＝1，设P(x，y)，
因为两切线l1⊥l2，PA⊥PB，
由切线性质定理，知PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，
所以四边形PACB为正方形，
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则(x－2)2＋y2＝2，
直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，
直线方程即kx－y－2＝0，
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，
即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
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5.[T12补偿](2021·沈阳模拟)在平面直角坐标系中，直线mx＋y－2m－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝9交于M，N两点.当△MNC的面积最大时，
实数m的值为__________.
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解析　由圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝9，
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6.[T16补偿](2021·烟台模拟)已知点A为直线l：y＝3x上一点，且A位于第一象限，点B(10,0)，以AB为直径的圆与l交于点C(异于点A)，若∠CBA≥60°，则点A的横坐标的取值范围为_______________.
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解析　由题意设A(x0,3x0)(x0>0)，
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因为∠CBA≥60°，且∠CBA在Rt△ABC中，
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