第24练　圆锥曲线的方程与性质 课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
圆锥曲线的方程与性质
第24练
专项典题精练
高考汇编
1.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于
A.2 B.3 C.6 D.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设A(x，y)，
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
可得a2＋b2＝9. ②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
3.(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p等于
A.2 B.3 C.4 D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　方法一　依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0,2π)，
因为|PB|≤2b，
所以对任意θ∈[0,2π)，(acos θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，
即(a2－b2)sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立.
令sin θ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，
则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立.
因为f(－1)＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，
因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，
7.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C
上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为___.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
解析　根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，
所以四边形PF1QF2为矩形.
设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，
则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以F1B⊥F2B，如图.
所以点A为F1B的中点，
又点O为F1F2的中点，
所以OA∥BF2，
所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，
所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，
9.(2021·兰州模拟)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图
所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 (a>0，b>0)下支
的一部分，且此双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
模拟精选
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.(2021·湛江模拟)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y＝2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|＝6，则p等于
A.4 B.6 C.8 D.10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设M(x0，y0)，
11.(2021·合肥模拟)已知椭圆C： (a>1)的左、右焦点分别为F1，
F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，
√
12.(2021·太原模拟)已知双曲线的两条渐近线夹角为α，且tan α＝ ，则其离心率为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　由题意双曲线的两条渐近线夹角为α，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.(多选)(2021·南通模拟)设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是
A.若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2
B.若OA⊥OB，直线AB过定点(1,0)
C.若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1
D.若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|＝ ，则|BF|＝1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
解析　设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
B项，将直线AB的方程代入抛物线方程y＝x2，
得x2－kx－b＝0，
则x1＋x2＝k，x1x2＝－b，
∵OA⊥OB，
∴kOA·kOB＝－b＝－1，b＝1.
于是直线AB的方程为y＝kx＋1，该直线过定点(0,1)，故B不正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴|OA|·|OB|≥2正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.(多选)(2021·梅州模拟)下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是
A.设A，B为两个定点，k为非零常数， ＝k，则动点P的轨迹为
双曲线
B.过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 ，
则动点P的轨迹为椭圆
C.方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　对于A选项，若动点P的轨迹为双曲线，
所以P为线段AB的中点，如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当AB为圆C的一条直径时，P与C重合；
当AB不是圆C的直径时，由垂径定理可得CP⊥AB，
设AC的中点为M，
所以点P的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程2x2－5x＋2＝0，
所以方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.(2021·九江模拟)已知离心率为2的双曲线C1： (a>0，b>0)的右
焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，M是C1与C2
的公共点，若|MF|＝5，则C1的标准方程为__________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
16.(2021·徐州模拟)已知椭圆C1： (a>b>0)的右顶点为P，右焦点F
与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合.若C1与C2相交于点
A，B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∴8ac＝3b2＝3(a2－c2)，∴3c2＋8ac－3a2＝0，
∴3e2＋8e－3＝0，∴(3e－1)(e＋3)＝0，
∵016
考情分析
练后疑难精讲
圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题，题目常为中档难度.
一、圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆： (a>b>0)(焦点在x轴上)或 (a>b>0)(焦点在y
轴上)；
(2)双曲线： (a>0，b>0)(焦点在x轴上)或 (a>0，b>0)(焦
点在y轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0).
题号 1 3 4 7 11
二、椭圆、双曲线的性质
核心提炼
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝ ；焦点坐标F1(－c,0)，
F2(c,0).
②双曲线 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝ ，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
题号 2 5 6 8 9 12 14 16
三、抛物线的性质
核心提炼
抛物线的焦点坐标与准线方程
题号 10 13 15
1
2
3
4
5
6
易错对点精补
1.[T3补偿](2021·酒泉模拟)抛物线y2＝－2px(p>0)的准线经过椭圆
＝1的右焦点，则p等于
A.2 B.4 C.8 D.12
√
所以p＝4.
2.[T10补偿](2021·宝鸡模拟)设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为M，P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|等于
1
2
3
4
5
6
√
解析　如图所示，过P作PQ垂直于l，交l于Q，
不妨设P(x，y)(x>0)，
所以y＝4，所以x＝4，即P(4,4)，
所以|QM|＝4，
1
2
3
4
5
6
3.[T9补偿](2021·六安模拟)六安市新建的广播电视发射塔计划于2021年3月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔.发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成.其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图1)，它的最小口径为2r米，在最小口径上方h米处的口径为4r米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线(如图2)，则其渐近线的方程为
√
1
2
3
4
5
6
由题意得a＝r，双曲线又过点(2r，h)，
4.[T13补偿](多选)(2021·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是
A.若直线l⊥x轴，则|AB|＝2
1
2
3
4
5
6
C.y1·y2＝－4
√
√
解析　抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程x＝－1，
显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，
1
2
3
4
5
6
选项A，直线l⊥x轴，m＝0，y1＝2，y2＝－2，
则|AB|＝4，即选项A错误；
选项B，y1·y2＝－4，
选项C，y1·y2＝－4，即选项C正确；
选项D，如图中，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1A|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥x轴，
∴∠AA1F＝∠A1FO，
1
2
3
4
5
6
5.[T16补偿](2021·蚌埠模拟)双曲线E： (a>0，b>0)的左顶点为A，
M是双曲线的渐近线与圆C：x2＋y2＝b2的一个交点，过M作圆的切线l交
y轴于P，若AP的斜率为 ，则双曲线E的离心率为_____.
1
2
3
4
5
6
令x＝0，得y＝c，即P(0，c)，
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
解析　如图，双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，
所以|OA|＝a，
c2＝a2＋b2， ③