第26练　最值、范围问题 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
最值、范围问题
第26练
考情分析
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现.
一、最值问题
例1　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
解得p＝2.
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
解　由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，
则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
即P(2k，－b).因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1， ①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，
规律方法　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
(1)求C的方程；
解　由题意，直线l：y＝kx－1过椭圆的下顶点，可得b＝1，
因为a2＝b2＋c2，
(2)求△BMN面积的最大值.
解　由圆E：x2＋y2＝a2，可得圆心坐标为E(0,0)，
整理得(k2＋2)x2＋4kx＝0，
二、范围问题
例2　(2016·全国Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
证明　因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，
从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
解　当l与x轴不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
规律方法　范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
(5)利用函数值域的求法，确定所求范围；
(6)利用已知，将条件转化为几个不等关系，从而求出参数的范围.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l′⊥l，直线l′与直线l、x轴、y轴分别交于点M，P，Q，当点
M为线段AB中点时，求 的取值范围.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意直线l斜率一定存在且不为零，
设l：y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
∵PM⊥MF，OQ⊥PO，
∵k2∈(0，＋∞)，