第25练　直线与圆锥曲线的位置关系 课件（共77张PPT）

(共77张PPT)
直线与圆锥曲线的位置关系
第25练
专项典题精练
高考汇编
1.(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C： ＝1的两个焦点，O为坐标原点，
点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为
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如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
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方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，
设点P的坐标为(x0，y0)，
2.(2014·全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
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3.(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E： (a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F
的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
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解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
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∴c2＝a2－b2＝b2＝9，
4.(2017·全国Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为
A.16 B.14 C.12 D.10
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解析　因为F为y2＝4x的焦点，
所以F(1,0).
由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，
设l1的斜率为k，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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同理可得|DE|＝4(1＋k2).
5.(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与
C交于A，B两点，则|AB|＝____.
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解析　如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，
得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
6.(2015·全国Ⅰ)已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C的左支上一
点，A .当△APF周长最小时，该三角形的面积为______.
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解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，
当A，P，F1在一条直线时最小，
7.(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
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可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
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所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3，
8.(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C： (0分别为C的左、右顶点.
(1)求C的方程；
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(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积.
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解　设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，
根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0)，
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因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或xP＝－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或yQ＝8，
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8).
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9.已知椭圆C： ＝1，过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若
点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是
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模拟精选
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解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
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由A(a,0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
可得a＋c＝2(c－a)，即c＝3a，
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解析　对于A，由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，解得a＝3.
∵PF1⊥F1F2，
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∴b2＝a2－c2＝4，
∴Q在以线段F1F2为直径的圆上，
由c>b知，以线段F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，
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对于D，由题意知点M(－2,1)为弦AB的中点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
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即8x－9y＋25＝0，D正确.
12.(多选)(2021·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
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D.经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点一定在定直线上
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所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，
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故D正确.
13.(2021·深圳模拟)设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，若|AF|－|BF|＝4，则|AB|＝___.
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解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)，
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因为p>0，
所以p＝3，
14.(2021·宜春模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为___.
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解析　设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义可得|AM|＝a，|BN|＝b，
且180°－2∠AFM＋180°－2∠BFN＝180°，
故∠AFM＋∠BFN＝90°，
故∠MFO＋∠NFO＝90°，即MF⊥NF.
设∠MAF＝θ，
则由余弦定理得|MF|2＝2a2(1－cos θ)，|NF|2＝2b2(1＋cos θ)，
因为△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，
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即a2b2sin2θ＝4，
所以△MFN的面积为2.
15.已知曲线C： ，D为直线y＝ 上的动点，过D作C的两条切线，
切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
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因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
(2)若以 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求
四边形ADBE的面积.
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Δ＝4t2＋4>0，
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
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设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
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所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|·|BF1|＝ ，求|AB|.
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故直线l的斜率存在，
设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
消去y并整理得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
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解得k2＝1，
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考情分析
练后疑难精讲
直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度为高档.
一、弦长、面积问题
核心提炼
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
题号 4 6 8 10 14 15 16
二、中点弦问题
核心提炼
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
1.根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
2.点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
题号 3 9 11
三、圆锥曲线中二级结论的应用
核心提炼
3.抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
题号 1 2 5 7 12 13
(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
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易错对点精补
1.[T3补偿]已知椭圆M： (a>b>0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交
椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为
√
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(2,1)，
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2.[T6补偿]已知双曲线C： 的左焦点为F，点M在双曲线C的右支
上，A(0,4)，当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为
A.12 B.8 C.6 D.4
√
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解析　如图所示，设双曲线C的右焦点为F′，
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所以F(－4,0)，F′(4,0)，
即当M在M′处时，△MAF的周长最小，
此时直线AF′的方程为y＝－x＋4，
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整理得y－1＝0，则yM′＝1，
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设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为P，Q在椭圆上，
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4.[T14补偿](2021·苏州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线C上一点，以F为圆心，半径为p的圆与PF交于点Q，过点P作圆
F的切线，切点为A，若|PA|＝ ，且△OPQ的面积为 ，则p＝____.
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因为|FQ|＝p，
所以Q是线段PF的中点，
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(1)求椭圆的标准方程；
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又∵a2＝b2＋c2，
∴a2＝6，b2＝2，
(2)过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，是否存在直线l与点P，使得△ABP恰好为等边三角形，若存在，求出△ABP的面积；若不存在，请说明理由.
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解　当直线l的斜率不存在时，等边△ABP不存在，故直线l的斜率存在.
设直线l：y＝k(x－2)，
联立椭圆方程整理得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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记AB中点为M(x0，y0)，
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∴k＝±1，经检验k＝±1均符合题意.