第28练　证明性、探究性问题 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
证明性、探究性问题
第28练
考情分析
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，证明性问题和探究性问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现.
一、证明性问题
(1)求椭圆C的方程；
又b2＝a2－c2＝1，
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝
证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
规律方法　(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系.
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
跟踪训练1　(2021·玉林模拟)如图所示，已知椭圆C： (a>b>0)的
左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点M在直线x＝－2上运动，线
段MF2与椭圆C的交点为N，当NF1⊥x轴时，直线MF2的斜率的绝对值为
(1)求椭圆C的标准方程；
解　由|F1F2|＝2c＝2，即c＝1，
而|NF1|＋|NF2|＝2a且|NF2|2＝|NF1|2＋|F1F2|2，
(2)设点P在椭圆C上，若直线PF1的斜率与直线MF2的斜率之积等于 ，证明：直线MP始终与椭圆C相切.
证明　由(1)，F1(－1,0)，F2(1,0)，结合题设，
令P(x1，y1)且x1≠－1，y1≠0，M(－2，y2)，
以下证明该方程确为椭圆切线方程，
故切线方程必过M点.
综上，直线MP始终与椭圆C相切，得证.
二、探究性问题
例2　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切.
(1)求C，⊙M的方程；
解　由题意知，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，
设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1,1)，Q(1，－1).
设C的方程为y2＝2px(p>0)，
所以C的方程为y2＝x.
因为圆心M(2,0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.
解　直线A2A3与⊙M相切，理由如下：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切.
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，
即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切.
综上可得，直线A2A3与⊙M相切.
规律方法　存在性问题的求解策略
解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
(1)求椭圆C的标准方程和点T的坐标；
由Δ＝0，解得a2＝4，b2＝3，
(2)设O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，
直线l′与直线l交于点P，试判断 是否为定值，若是，请求出定
值，若不是，请说明理由.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，