第30练　数形结合思想 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
数形结合思想
第30练
专项典题精练
高考汇编
1.(2020·北京)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为
A.4 B.5 C.6 D.7
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√
解析　半径为1，经过点(3,4)的动圆，
由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3,4)共线时，
2.(2011·课标全国)函数y＝ 的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图
象所有交点的横坐标之和等于
A.2 B.4 C.6 D.8
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解析　令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.
又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.
由图可知两函数图象在[－3,0)∪(0,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称.
因此这8个交点的横坐标的和为0，
即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8.
3.(2020·北京)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是
A.(－1,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(0,1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
√
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解析　令h(x)＝2x，g(x)＝x＋1，
在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.
由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2).
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
4.(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足 ＝
2a， ＝2a＋b，则下列结论正确的是
A.|b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
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故|b|＝2，故A错误；
|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，
所以a·b＝－1，故B，C错误；
5.(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的
夹角为 ，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是
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解析　∵b2－4e·b＋3＝0，
∴(b－2e)2＝1，
∴|b－2e|＝1.
如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，
则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度.
要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，
6.(2012·辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈
[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在
上的零点个数为
A.5 B.6 C.7 D.8
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解析　由题意知f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，
所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)＝0，f(1)＝1，
7.(2015·湖北)函数f(x)＝ －2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为__.
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令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点.
8.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________________.
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(－5,0)∪(5，＋∞)
解析　作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示.
由于f(x)是定义在R上的奇函数，
利用奇函数图象关于原点对称作出x<0的图象.
不等式f(x)>x，表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，
观察图象易得解集为(－5,0)∪(5，＋∞).
9.(2021·玉林模拟)圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上一动点M，抛物线y2＝8x上一动点N(x0，y0)，则x0＋|MN|的最小值为
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模拟精选
√
解析　如图所示，过点N作抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2的垂线NE，垂足为点E，
抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，
圆C的圆心为C(－2,3)，半径为1.
由抛物线的定义可得|NE|＝|NF|，
则x0＝|NF|－2，
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当且仅当C，M，N，F四点共线且点M，N在线段CF上时，x0＋|MN|取得最小值为2.
10.(2021·石家庄模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA＝AC＝ ，BC＝a，动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为 ，则该棱锥的外接球的表面积为
A.5π B.8π
C.10π D.20π
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解析　将侧面PBC沿PC翻折到与侧面PAC共面，如图所示，
则动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为AB，
∵PA⊥底面ABC，AC 平面ABC，
∴PA⊥AC，又BC⊥PC，PA＝AC，
解得a＝2，
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取PB的中点O，连接AO，CO，
∵PA⊥AB，PC⊥BC，
∴球O的表面积S＝4πR2＝8π.
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11.(2021·朝阳模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点.若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|＋|PO|(O为坐标原点)的最小值为
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解析　如图所示，作点O关于l的对称点B，连接PB，AB，
设点A(x，y)，不妨设y>0，
由题意知F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，
则|AF|＝x＋1＝5，得x＝4，
所以y2＝4×4＝16，得y＝4.
由|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PB|≥|AB|，
当A，B，P三点共线时取等号，
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13.已知函数f(x)＝ 把方程f(x)－x＝0的根按从小到大的
顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为
A.an＝ B.an＝n(n－1)(n∈N*)
C.an＝n－1(n∈N*) D.an＝2n－2(n∈N*)
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解析　作出y＝f(x)，y＝x的图象，
可得方程f(x)－x＝0的根按从小到大的
顺序为0,1,2,3，…，n－1，….
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解析　如图，由题意可知，把a看作(2,0)，〈a，b〉＝60°，
设C(－1,0)，D(－3,0)，
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15.已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线
上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
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解析　因为(－2)2<8×4，
所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，
设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.
则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
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所以AD⊥DC，即点D是以AC为直径的圆上的点，
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考情分析
练后疑难精讲
数形结合是高考中常用的思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
一、数形结合思想在函数与方程中的应用
核心提炼
用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.
题号 2 6 7 12 13
二、数形结合求解不等式与平面向量问题
核心提炼
求平面向量或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算.
题号 3 4 5 8 14 16
三、几何图形中的数形结合思想
核心提炼
(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
题号 1 9 10 11 15
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易错对点精补
√
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∵－5≤x≤5，
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2.[T5补偿]已知向量a，b满足|a＋b|＝3，a·b＝0，若c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，且c·a＝c·b，则|c|的最大值为
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因为a·b＝0，
记AB的中点为O，
所以点M在以AB为直径的圆O上.
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因为c＝λa＋(1－λ)b，
所以点C在直线MN上.
因为c·a＝c·b，
所以c·(a－b)＝0，
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3.[T11补偿]如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2＋(y－1)2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是
A.(3,6) B.(4,6)
C.(4,8) D.(6,8)
√
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解析　抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，
准线方程为y＝－1，
圆x2＋(y－1)2＝4的圆心为(0,1)，
与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，
∴|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，
∴△ABF的周长＝2＋yA＋1＋yB－yA＝yB＋3，
∵1∴△AFB的周长的取值范围是(4,6).
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√
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解析　以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系：
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
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5
即动点P在以(2,0)为圆心，半径r＝1的圆以及圆内部运动，
所以当直线β＝－2α＋2m与以(2,0)为圆心，半径r＝1的圆相切时，m有最值，
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5.[T12补偿]双曲线C： (a>0，b>0)的两条渐近线l1，l2与直线x＝
1围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(x，y)，若 的最
大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为__________.
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渐近线l1，l2与x＝1围成区域Ω，如图阴影部分所示，
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6.[T1补偿]已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为____.
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解析　根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.
因为∠APB＝90°，连接OP，
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要求m的最大值，
即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值为6.