第31练　分类讨论思想 课件（共64张PPT）

(共64张PPT)
分类讨论思想
第31练
专项典题精练
高考汇编
1.(2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析　如图，直线l，m，n不过同一点，且l，m，n共面有三种情况：
①同一平面内三线平行；
②两平行线与另一线相交；
③三线两两相交.
因此，“l，m，n两两相交”是“l，m，n共面”的一种情况，
即“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件.
2.(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是
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√
解析　方法一　当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当0方法二　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排除A；
B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.
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3.(2015·山东)设函数f(x)＝ 则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是
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√
解析　由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
4.(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点.若C上存在点
M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是
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√
解析　方法一　设焦点在x轴上，点M(x，y).
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0).
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对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).
方法二　当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
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解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).
5.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C
＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为______.
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解析　方法一　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
利用正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
由于0所以sin Bsin C≠0，
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由于b2＋c2－a2＝8，
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方法二　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
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6.(2014·福建)函数f(x)＝ 的零点个数是____.
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所以在(－∞，0]上有一个零点.
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，
所以f(x)在(2,3)内有一个零点.
综上，函数f(x)的零点个数为2.
7.(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
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解　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增.
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
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(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
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解　①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)>0，符合题意.
②若a>0，则由(1)知，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，
最小值为f(ln a)＝－a2ln a，
从而当且仅当－a2ln a≥0，即01
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即 ≤a<0时，f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[ ，1].
8.(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
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解　当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2).
即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
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证明　当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
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所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，
所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
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模拟精选
√
解析　由m是1和9的等比中项，可得m＝±3，
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该曲线为焦点在y轴上的椭圆，
该曲线为焦点在x轴上的双曲线，
10.(2021·遂宁模拟)已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x－2)2＋(y－1)2＝10相交于A，B两点，若CA⊥CB，则直线l的方程为
A.2x－y＋2＝0
B.2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0
C.x＝0
D.x＝0或2x＋y－2＝0
√
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所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝0，
此时点C到直线l的距离为2，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
整理得(k－2)2＝0，解得k＝2，
所以直线l的方程为y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0.
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11.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是
A.(－2,2) B.[－2,2]
C.(2，＋∞) D.(－2,2]
√
解析　当a－2＝0，即a＝2时，此时－4<0恒成立，满足条件；
当a－2≠0时，因为(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x都成立，
解得a∈(－2,2)，综上可知，a∈(－2,2].
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√
解析　由已知得f′(x)＝a(sin x＋xcos x)，
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又函数图象是连续不断的，
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又函数图象是连续不断的，
13.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋11
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(－∞，4]
解析　当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；
当B≠ 时，若B A，如图.
综上，m的取值范围为(－∞，4].
14.(2021·杭州模拟)一排有11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是____.
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44
解析　根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，
即共6＋6＋32＝44(种).
15.(2021·柳州模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足Sn＝2an－1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
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解　依题意得，当n＝1时，有S1＝2a1－1，
又S1＝a1，故a1＝1，
又Sn＝2an－1， ①
当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－1， ②
①－②得Sn－Sn－1＝an＝2an－2an－1，
化简得an＝2an－1，
∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2n－1.
(2)若bn＝2n－1，且数列{cn}由a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，bn，…组成，求{cn}的前n项和Tn.
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解　当n为偶数时，
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Tn＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋…＋
＝a1＋a2＋a3＋…＋ ＋b1＋b2＋b3＋…＋
＝
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当n为奇数时，
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Tn＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋…＋
＝a1＋a2＋a3＋…＋ ＋b1＋b2＋b3＋…＋
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∴Tn＝
16.(2021·丰台区模拟)已知椭圆C： ，过点(－1,0)的直线l交椭圆C于点A，B.
(1)当直线l与x轴垂直时，求|AB|；
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解　当直线l与x轴垂直时，其方程为x＝－1.
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①当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－3＝0.显然Δ>0，
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＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2x1x2＋k2(x1＋x2)＋k2
＝(k2－m)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋k2＋m2
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②当直线l与x轴垂直时，
考情分析
练后疑难精讲
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
一、由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
核心提炼
解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤
第一步：确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.
第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.
第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.
第四步：汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
题号 1 5 6 10 13 14 15
二、由参数变化引起的分类讨论
核心提炼
含有参数的分类讨论问题主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.
题号 3 4 7 11 12
三、由图形位置或形状引起的分类讨论
核心提炼
1.一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等.
2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.
3.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.
题号 2 8 9 16
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易错对点精补
1.[T1补偿](2021·房山区模拟)“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与ax＋y＝1平行”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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解析　因为直线x＋ay＝1与ax＋y＝1平行，
解得a＝±1；
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，
同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合不满足题意；
当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意；
故a＝－1，根据小范围推大范围可得，
a2＝1是a＝－1的必要不充分条件.
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√
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3.[T6补偿]已知λ∈R，函数f(x)＝ 当λ＝2时，不等式f(x)<0
的解集是_____.若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是_______________.
(1,4)
(1,3]∪(4，＋∞)
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所以2≤x<4或1即1当λ>4时，f(x)＝x－4>0，
此时令f(x)＝x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，
即在(－∞，λ)上有两个零点，满足题意；
当λ≤4时，令f(x)＝x－4＝0，解得x＝4，
由f(x)＝x2－4x＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞).
4.[T12补偿]若函数f(x)＝mx2－x＋ln x存在单调递减区间，则实数m的取
值范围是__________.
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即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解.
当m≤0时显然成立；当m>0时，
5.[T7补偿](2021·洛阳模拟)已知函数f(x)＝ax－x2－ln x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
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由f′(x)>0得x1由f′(x)<0得0x2，
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函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln 2，求实数a的取值范围.
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此时方程2x2－ax＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，
＝a(x1＋x2)－[(x1＋x2)2－2x1x2]－ln(x1x2)
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∴a的取值范围是(4，＋∞).