第32练　转化与化归思想 课件（共58张PPT）

(共58张PPT)
转化与化归思想
第32练
专项典题精练
高考汇编
1.(2021·浙江)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)，若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
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解析　因为f(x)＝ax2＋b，
所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.
因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，
所以f2(s)＝f(s－t)f(s＋t)，
即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，
化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，
得t＝0或2as2－at2＝2b，
易知点(s，t)的轨迹为一条直线和一条双曲线.
2.(2017·山东)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是
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解析　方法一　∵a>b>0，ab＝1，
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令f(a)＝a－1·2－a，
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a(1＋aln 2)<0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减.
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方法二　∵a>b>0，ab＝1，
3.(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A.36π B.64π C.144π D.256π
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解析　如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，
即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，
所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.
4.(2019·浙江)设a，b∈R，函数f(x)＝ 若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则
A.a<－1，b<0 B.a<－1，b>0
C.a>－1，b<0 D.a>－1，b>0
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解析　由题意可得，当x≥0时，
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令f(x)－ax－b＝0，
因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，
所以要使满足条件，则当x≥0时，
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所以b<0.
5.(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，
则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是____.
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解析　从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，
6.(2019·北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝____；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是__________.
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(－∞，0]
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解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，
∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，
∴a＝－1；
∵f(x)在R上单调递增，
∴e2x－a≥0，a≤0，故a的取值范围是(－∞，0].
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
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(2)讨论f(x)在区间 上的单调性.
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8.(2019·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；
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故g(x)在(0，π)上存在唯一零点.
所以f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点.
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证明　设g(x)＝f′(x)，
则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.
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解　由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)上只有一个零点，
设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；
当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减.
又f(0)＝0，f(π)＝0，
所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.
又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.
因此，a的取值范围是(－∞，0].
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模拟精选
9.(2021·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈
[0,1]时，f(x)＝x3，则
A.f(2 021)＝0
B.2是f(x)的一个周期
C.当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3
D.f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)
√
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，
所以f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以f(x)的最小正周期是4，故B错误.
f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误.
因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，
当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误.
因为当x∈(0,2)时，f(x)>0，f(x)的最小正周期是4，
所以f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确.
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10.(2021·晋中模拟)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
A.12π B.20π C.24π D.32π
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解析　将三棱锥P－ABC放入长方体中，如图，
三棱锥P－ABC的外接球就是长方体的外接球.
因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，
设外接球的半径为R，
依题意可得(2R)2＝4＋4＋12＝20，
故R2＝5，
则球O的表面积为S＝4πR2＝20π.
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11.(2021·郑州模拟)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AM＋AN＝1，设 ，则2x＋3y的最小值为
A.48 B.49 C.50 D.51
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解析　如图，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，
设M(m,0)，N(0，n)，因为2AM＋AN＝1，
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12.(多选)(2021·汕头模拟)已知定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－tan πx，在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值可以是
A.3.8 B.3.9 C.4 D.4.1
√
√
解析　f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
又f(2－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，
令t＝－x得f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，
所以f(x)是周期函数，周期为2，
又f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝0，f(1)＝0，
所以f(n)＝0，n∈Z，
作出y＝f(x)和y＝tan πx的图象，
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如图，由图可知x≥－1时，从点A(－1,0)，10个交点依次为A，B，O，C，D，E，F，G，H，I，点J是第11个交点，J(4,0)，
设C点横坐标为x0，
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即3.5所以m可取3.8,3.9，m≥4时至少有11个零点.
13.(2021·沈阳模拟)若“ x∈ ，使得2x2－λx－1<0成立”是假命题，
则实数λ的取值范围为________.
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λ≤－1
14.已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝
，点D是PB的中点，且CD＝ ，则球O的表面积为______.
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可得CP2＝PA2＋AC2，所以PA⊥AC，
由点D是PB的中点，且PA＝AB＝PB＝2，
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可得CD2＝AD2＋AC2，所以AD⊥AC，
又AD∩AP＝A且AD，AP 平面PAB，
所以AC⊥平面PAB，
以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥P－ABC的外接球即为该三棱柱的外接球，
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15.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立.
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
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解　设“部件1需要调整”为事件A，“部件2需要调整”为事件B，“部件3需要调整”为事件C，
由题意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3.
部件1,2中至少有1个需要调整的概率为
1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28.
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及均值.
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解　由题意可知X的可能取值为0,1,2,3.
且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，
P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]·P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)
＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]·P(C)＋[1－P(A)]P(C)P(B)
＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092.
P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
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故X的分布列为
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X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
其均值E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6.
16.(2021·渭南模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x(a≠0)，g(x)＝ex＋bx2(b∈R).
(1)记h(x)＝f(x)＋x2，试讨论函数h(x)的单调性；
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记φ(x)＝2x2＋x＋a(x>0)，
当a>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a<0时，Δ＝1－8a>0，
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(2)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线都过点(0,1).求证：当x>0
时，f(x)＋ ≥e－1.
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∴f′(1)＝a＋1，f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝(a＋1)(x－1)，过点(0,1)得a＝－1，
g′(1)＝e＋2b，g(x)在x＝1处的切线方程为y－e－b＝(e＋2b)(x－1)，过点(0,1)得b＝－1，
∴f(x)＝－ln x＋x，g(x)＝ex－x2，
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∵当x>0时，ex－1>0，
∴当x∈(0,1)时，K′(x)<0，K(x)在(0,1)上单调递减，
∴当x∈(1，＋∞)时，K′(x)>0，K(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴K(x)≥K(1)＝0，故原不等式成立.
考情分析
练后疑难精讲
转化和化归思想一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化和化归思想在高考中起到十分重要的作用，数学问题的解决，总离不开转化和化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中.
一、特殊与一般的转化
核心提炼
化一般为特殊的应用要点
把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速.常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量.
题号 2 3 10 14
二、正与反、常量与变量的转化
核心提炼
正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
题号 5 13 15
三、函数、方程、不等式之间的转化
核心提炼
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.
题号 1 4 6 7 8 9 11 12 16
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易错对点精补
1.[T2补偿]在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝3b，则 的
值为
√
解析　令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意.
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2.[T10补偿](2021·南昌模拟)已知在三棱锥A－BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，△ABC是边长为3的正三角形，△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，CD＝2，则此三棱锥外接球的体积等于
√
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4
5
解析　在三棱锥A－BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，把该三棱锥放入长方体中，如图所示.
设三棱锥外接球的球心为O，取BC的中点M，BD的中点N，△ABC的重心G，连接OG，
1
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5
3.[T5补偿](2021·天津模拟)甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一
次投篮命中的概率为 ，乙同学一次投篮命中的概率为 ，假设两人投篮
命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率
是___.
4.[T13补偿]已知命题p： x∈[0,2]，x2＋ax－1≤0是假命题，则实数a的
取值范围为____________.
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解析　由条件可知命题p的否定： x∈[0,2]，x2＋ax－1>0是真命题，
当x＝0时，－1>0不成立；
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
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(2)若对任意的m∈(－2,2)，方程f(x)＝m(其中x∈[0，a))始终有两个不同的根x1，x2.
①求实数a的值；
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②求x1＋x2的值.
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解　根据三角函数图象的对称性，