高三数学二轮函数图象与性质

第四讲函数的图象与性质
命题要点：
1.函数的图象：（1）函数图象的画法，（2）函数图象与函数性质的关系，（3）函数图象的应用。
2.函数的性质：（1）函数的单调性，（2）函数的奇偶性，（3）函数的周期性。
命题趋势：
1.函数的图象及其性质是高考命题的一个核心内容，高考一般从以下几个方面进行考查：（1）对基本初等函数图象的考查，包括对二次函数、指数函数、对数函数、幂函数图象的考查；（2）利用导数研究函数图象，主要考查导数图象与原函数图象之间的关系；（3）函数图象的综合应用，即以函数的图象为背景求函数零点的个数或则判断函数零点所在的区间等。
2.近几年高考对函数的性质的考查主要集中在单调性、奇偶性、周期性，其考查更具有综合性，常常以三个性质综合考查或则以其中两个性质进行综合考查。解决此类综合问题的关键是灵活运用基础知识，熟练判断函数奇偶性常用的方法、判断函数单调性常用方法，牢记函数周期性的表达式以及半周期形式。
命题规律：
1基本初等函数的图象是高考中的重要考查点之一，是用来研究其他图象的基础，且是研究韩式性质的重要工具，该类题多以选择、填空为主，难度为中低档题。
2.函数的基本性质主要从两个方面进行考查：（1）函数的单调区间及其周期的应用，如应用单调求值域、比较大小、解（证明）不等式等，运用定义或导数判断或则证明函数的单调性等，多以简答题的形式出现；（2）函数的奇偶性、周期性常和函数的单调性综合，奇偶性和单调性相结合的题目常通过画示意图解决，周期性与三角函数相结合，以客观题为主，一般为容易题，对综合性简答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等全面了解函数图象的变化趋势，画出示意图，从而研究函数的最值、极值、单调区间等，是解决函数最值，不等式恒成立问题的基本思路，一般以客观题为主，难度为中高档题。
题型分析：
类型一 函数及其表示
1．函数的三要素：定义域、值域、对应法则．
2．同一函数：函数的三要素完全相同时，才表示同一函数．
[例1]　(2012年高考江西卷)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)
A．y＝　　　　　　 B．y＝
C．y＝xex D．y＝
[解析]　利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解．
函数y＝的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0?x≠k，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.
[答案]　D

跟踪训练
1．(2012年高考福建卷)设f(x)＝ ， g(x)＝ 则f(g())的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．
解析：根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案：B
2．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)的值域是(　　)
A．[－，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[－，0]∪(2，＋∞)
解析：令x0，解得x<－1或x>2；
令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.
故函数f(x)＝
当x<－1或x>2时，函数f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；
当－1≤x≤2时，函数f()≤f(x)≤f(－1)，
即－≤f(x)≤0.
故函数f(x)的值域是[－，0]∪(2，＋∞)．
答案：D
3. (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为，求函数y＝f的定义域；
(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．
解　(1)令x2－x－＝t，
知f(t)的定义域为，
∴－≤x2－x－≤，
整理得?
∴所求函数的定义域为∪.
(2)用换元思想，令3－2x＝t，
f(t)的定义域即为f(x)的定义域，
∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，
故f(x)的定义域为[－1,5]．
方法总结：
(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．
(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．
（3）求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：
①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．
类型二 函数的图象
1．图象的作法
(1)描点法．
(2)图象变换法：平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．若函数y＝f(x)关于x＝a对称，则f(x＋a)＝f(a－x)．
[例2]　(2012年高考湖北卷)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)



[解析]　解法一　由y＝f(x)的图象写出f(x)的解析式．
由y＝f(x)的图象知f(x)＝
当x∈[0，2]时，2－x∈[0，2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝图象应为B.
解法二　利用特殊点确定图象．
当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
[答案]　B

跟踪训练
1.(2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：结合函数的图象，利用特殊函数值用排除法求解．
当x＝1时，y＝<0，排除A；当x＝0时，y不存在，排除D；当x从负方向无限趋近0时，y趋向于－∞，排除C，选B.
答案：B
2.(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)．
解析　当x＞0时，2x＝x2有两根x＝2,4；当x＜0时，根据图象法易得到y＝2x与y＝x2有一个交点，则y＝2x－x2在R上有3个零点，故排除B、C；当x→－∞时，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故选A.
答案　A
3. (2010·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)．
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C．[1－2，3] D．[1－，3]
解析　在同一坐标系下画出曲线y＝3－(注：该曲线是以点C(2,3)为圆
心、2为半径的圆不在直线y＝3上方的部分)与直线y＝x的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点；注意到与y＝x平行且过点(0,3)的直线的方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y＝3上方的部分)，有＝2，b＝1－2.结合图形可知，满足题意的只有C选项．
答案　C　　
方法总结：明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．
(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(2)函数解析式的等价变换．
(3)研究函数的性质．
类型三 函数的性质
1．单调性与奇偶性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
2．若奇函数的定义域有0，则必有f(0)＝0，但f(0)＝0是f(x)为奇函数的必要不充分条件．
3．周期性的几个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则f(x)是周期函数且2a是它的一个周期；
(2)若f(x＋a)＝(a>0)，则f(x)是周期函数且2a是它的一个周期；
（3）若f(x＋a)＝－，则f(x)是周期函数且2a是它的一个周期
(4)若f(x)是偶函数且关于x＝a(a>0)对称，则f(x)是周期函数且2a是它的一个周期．
[例3]　(2012年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　)
A．335 B．338
C．1 678 D．2 012
[解析]　利用函数的周期性和函数值的求法求解．
∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×335.
而f(2 011)＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＝3，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝335＋3＝338.
[答案]　B

跟踪训练
1.(2012年高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝，其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
解析：由f(x)的周期为2，得f()＝f(－)是关键．
因为f(x)的周期为2，
所以f()＝f(－2)＝f(－)，
即f()＝f(－)．
又因为f(－)＝－a＋1，f()＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)．①
又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝，
即b＝－2a.②
将②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
答案：－10
方法总结：1.判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．
2. 函数单调性的判断
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．
(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．
(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．
经典作业：
1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析　∵3x＋1＞1，
∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.
答案　A
2．(2011·江西)若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)．
A. B.
C. D．(0，＋∞)
解析　由log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，
解得－＜x＜0.
答案　A
3. (2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)．
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析　根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝.故选B.
答案　B
4. (2011·广东茂名一模)设f(x)＝则f[f(2)]的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2.
5. (2010·陕西理)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)
A. B.
C．2 D．9
[答案]　C
[解析]　f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
6. (人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)．
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析　y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．
答案　C
7. (2011·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　)
A. B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
解析　本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上．
答案　D
8. (2011·陕西)函数y＝x的图象是(　　)．
解析　该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y＝x比较即可．
由(－x)＝－x知函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，知只有B选项符合．
答案　B
9. (2011·湖南)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析　函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1.即x2－4x＋2＜0，解得2－＜x＜2＋.
答案　B
10. (2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足fA．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由已知条件：>1，不等式等价于解得－1答案　C
11. (2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______．
解析　要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x＞－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是.
答案　
12. (2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)．
A.－ B.－ C. D.
解析　因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f＝－.故选A.
答案　A
13. (2012·福州一中月考)f(x)＝－x的图象关于(　　)．
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．
答案　C
14. (2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析　由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.
答案　A
15．(2011·福建)对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)．
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
解析　∵f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝－asin 1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.
答案　D
16. (2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析　法一　∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
17.(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．
第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(π)；
第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；
第(3)问，由图象观察写出．
[解答示范] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)
＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则
S＝4S△OAB＝4×＝4
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
18. (2011·广东联考)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)．
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0.
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
19. (2011·广东清远市高三3月测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x)的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)记△OAP的面积为S，求S的最大值．
解：(1)由已知可得函数f(x)的对称轴为x＝3，顶点为(3,9)．
法一：由
得a＝－1，b＝6，c＝0
得f(x)＝6x－x2，x∈[0,6]．
法二：设f(x)＝a(x－3)2＋9
由f(0)＝0，得a＝－1
f(x)＝6x－x2，x∈[0,6]．
(2)S(t)＝|OA|·|AP|＝t(6t－t2)，t∈(0,6)
S′(t)＝6t－t2＝t(4－t)
列表
t
(0,4)
4
(4,6)
S′(t)
＋
0
－
S(t)
?↗
极大值
↘?
由上表可得t＝4时，三角形面积取得最大值．
即S(t)max＝S(4)＝×4×(6×4－42)＝16.
20.(2011·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解：(1)当a>0，b>0时，任取x1，x2∈R，且x1∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2 x2)<0,3 x1<3 x2，b>0?b(3x1－3 x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0
当a<0，b>0时，x>－，
则x>log1.5；
当a>0，b<0时， x <－，
则x