高三数学二轮函数与方程

第五讲函数与方程及函数的应用
命题要点:
（1）函数零点的概念及判断方法；（2）一次函数模型；（3）二次函数模型；（4）指数、对数函数模型；（5）对勾函数模型。
命题趋势:
函数零点是新增内容，也是高考考查的重要内容之一，特别是函数零点与方程的根的关系问题，此类问题难度不大，但要注意零点存在性定理的灵活运用。
函数模型考查的重点是函数模型的建立及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求最值，该部分试题的背景新颖，常与实际生活、社会热点等问题密切相关，设置问题新颖。最值问题是函数实际应用题求解的重点，掌握各种初等函数的模型是解决数学实际问题的关键。
命题规律：
1．函数与方程思想是中学数学重要思想方法之一，大多与其他知识进行综合考查，题型为选择，填空，简答题均有。
2. 函数是数学的主干，与数列、导数、解析几何、立体几何等都有联系，试题难度较大，主要体现在函数应用题和含参数的不等式恒成立问题，分离参数后化为函数最值问题。
题型分析:
类型一 函数零点的确定
确定函数零点存在区间及个数的常用方法
(1)利用零点存在的判定定理；
(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解。
[例1]　(2012年高考湖北卷)函数f(x)＝xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　B．5
C．6 D．7
[解析]　根据x2的范围判断y＝cos x2在区间[0，4]上的零点个数．当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.
因为5π<16<，所以函数y＝cos x2在x2取，，，，时为0，此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为6.
[答案]　C

跟踪训练
(2012年保定摸底)函数f(x)＝3cos －logx的零点的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：把求函数f(x)的零点的个数问题转化为求函数y＝3cos x的图象与函数y＝logx的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．

函数y＝3cos x的最小正周期是4，当x＝8时，y＝log8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f(x)＝3cos －logx有5个零点．
答案：D
方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
类型二 函数零点的应用问题
应用函数零点求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
[例2]　(2012年高考天津卷)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
[解析]　先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．
根据绝对值的意义，
y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．

根据图象可知，
当0[答案]　(0，1)∪(1，4)

跟踪训练
已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即方程a＝2x－ex有解．
令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，
令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，
所以g(x)的最大值为g(ln 2)＝2ln 2－2.
因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，
即a∈(－∞，2ln 2－2]．
答案：(－∞，2ln 2－2]
方法总结：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，
f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
类型三 函数的实际应用
1．常见模型：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数式函数模型．
2．对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．
[例3]　(2012年高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
[解析]　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．

跟踪训练
2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)，该设备购买的总费用为50 000元；使用中每年的固定保养费为6 000元；前x年的总保养费y满足y＝ax2＋bx，已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．
解析：由题意，得，解得，
所以y＝500x2＋500x.
设该设备的年平均消耗费用为f(x)，
由题意，可知年平均消耗费用为f(x)＝＋6 000＋500x＋500＝500x＋＋6 500≥16 500，
当且仅当500x＝时，等号成立，此时x＝10，所以最佳使用年限为10年．
答案：10
方法总结：(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】　(2012年高考福建卷)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝ 设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
【解析】　根据新定义写出
f(x)的解析式，数形结合求出m的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解．
由定义可知，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示．

由图可知，当00，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.
令解得x＝或x＝(舍去)．
∴【答案】　(，0)
【名师点睛】　本题以新定义函数为载体，综合考查了二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点，不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、分析问题、解决问题的能力．解答本题的关键在于数形结合确定m的取值范围．
考情展望
高考对函数与方程及应用的考查多以选择、填空形式出现，主要有两个方面：一是判断零点个数或零点所在区间，二是利用零点问题确定参数问题，着重考查等价转化、数形结合思想的运用，难度中档以上．
名师押题
【押题】　设函数f(x)的零点为x1，函数g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|>，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝2x－　　　　 B．f(x)＝－x2＋x－
C．f(x)＝1－10x D．f(x)＝ln(8x－2)
【解析】　依题意得g()＝＋－2<0，
g()＝1>0，∴x2∈(，)．若f(x)＝1－10x，
则有x1＝0，此时|x1－x2|>，因此选C.
【答案】　C
经典作业：
1．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)．
A．(－1,1)
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.
答案　C
2. (2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为
(　　)．
A. B.
C. D.
解析　因为f＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.
答案　C
3. ?(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为(　　)．
A．3 B．2 C．7 D．0
[审题视点] 函数零点的个数?f(x)＝0解的个数?函数图象与x轴交点的个数．
解析　法一　由f(x)＝0得
或解得x＝－3，或x＝e2.
因此函数f(x)共有两个零点．
4. (2010·天津文)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　C
[解析]　解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，
又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
5. (2011·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　)
A．(0,1)　　 B．(1,2)　　 C．(2,3)　　 D．(2,4)
[答案]　B
[解析]　∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．
6. (2010·浙江理)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
[答案]　A
[解析]　本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，有交点，故选A.
7. (2011·山东济南)若方程x＝x的解为x0，则x0属于以下区间(　　)
A. B.
C. D．(1,2)
[答案]　B
[解析]　构造函数f(x)＝x－x，易知该函数是R上的减函数．
又f＝－>0，
f＝－<0.
∴x0∈
8. (人教A版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于(　　)．
A．3～4万元 B．4～5万元
C．5～6万元 D．2～3万元
解析　设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64，∴x＝＝34 660.
答案　A
9. (2012·新乡月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)．
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
解析　设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x≥150.
答案　C
10. (2011·聊城模拟(一))若函数f(x)＝ex－a－恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝ex－a－＝0，得ex＝a＋，设y1＝ex，y2＝a＋，
分别作出y1、y2的图象，观察图象可知a≤0时，两图象只有一个交点．
答案：a≤0
11．(2011·扬州市四星级高中4月联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________．
解析：令y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，y4＝－x，
图象如图，则a答案：a12. (2011·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
[答案]　2500
[解析]　总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－(Q－300)2＋2500.
故当Q＝300时，总利润最大，为2500万元．
13. ?(2011·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；
(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
[审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值．
解　(1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*.
P(x)＝R(x)－C(x)
＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－
4 000)＝2 480－40x.
(2)P(x)＝－202＋74 125，
当x＝62或x＝63时，P(x)取得最大值74 120元；
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)取得最大值2 440元．
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.
14. ?某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？
[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长．
解　(1)设y＝
当t＝1时，由y＝4得k＝4，
由1－a＝4得．a＝3.则y＝
(2)由y≥0.25得或
解得≤t≤5，
因此服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时．
15. (2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
首先求函数v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解．
[解答示范] (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知，得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
16. (2011·广州模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
[解析]　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
f(x)有两个零点或无零点不合题意．
∴这种情况不可能．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
17. 定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5个不同的实数解．
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)求实数a的取值范围．
[解析]　(1)设x<0，则－x>0，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．
(2)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝0的根关于x＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，
∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x轴恰有两个不同的交点．
下面就x>0时的情况讨论．
∵f′(x)＝－a，
∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．
a>0时，令f′(x)＝0，x＝.
当00，f(x)递增，
当x>时，f′(x)<0，f(x)递减，
∴f(x)在x＝处取得极大值－lna－1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．
∴只要：－lna－1>0，即lna<－1，
得：a∈.