第1部分 研习2　复数、平面向量学案（Word版含解析）

　复数、平面向量
考点1　复数
　解决复数问题应注意的4点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数 a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b.
(2)与复数的分类、复数相等、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．
(3)虚数单位i的in(n∈N)周期为4.
(4)求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质||＝|z|，|z|2＝||2＝z·，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算．
提醒：实系数方程的复根成对出现．
[历年常考题型]
1．(2021·全国卷甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．－＋i D．－－i
B　[z＝＝＝＝－1＋i.故选B．]
2．(2021·全国卷乙)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
C　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C．]
3．(2021·长郡十五校第二次联考)已知复数z满足：z2＝＋6i(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为(　　)
A．2i B．3
C． D．i
C　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝＋6i，
可得
由题意知a<0，b<0，解得a＝－2，b＝－，
所以z＝－2－i，则＝－2＋i.故选C．]
4．(2021·开封模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)为纯虚数，则＝(　　)
A． B．3
C．5 D．2
A　[z＝＝＝＝＋，
复数z＝(a∈R)为纯虚数，则
解得a＝－2，则z＝－i ，所以z＋a＝－2－i，所以＝，故选A．]
[预测创新题型]
5．已知2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则实数a＝(　　)
A．2－i B．－4
C．2 D．4
B　[因为2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则另一根为2－i，由根与系数的关系得(2＋i)＋(2－i)＝－a，所以a＝－4，故选B．]
6．设z为复数，则下列命题中正确的序号是________．
①2＝z；
②z2＝2；
③若＝1，则的最大值为2；
④若＝1，则0≤≤2.
①③④　[对于①：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴2＝a2＋b2，而z＝a2＋b2，所以2＝z成立；
对于②：设z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而2＝a2＋b2，所以z2＝2不成立；
对于③： ＝1可以看作以O(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P，可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当点P为(0,1)时，可取的最大值为2；
对于④： ＝1可以看作以M(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则表示点N到原点的距离，故O、N重合时，＝0最小，当O、M、N三点共线时，＝2最大，故0≤≤2.故填①③④.]
考点2　平面向量的线性运算
　解决平面向量问题的3种常用方法
(1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点 ＝＋；A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)．
(2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题．
(3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解．
[历年常考题型]
1．(2021·兰州模拟)已知向量＝(－1，k)，＝(1,2)，＝(k＋2,0)，且实数k＞0，若A，B，C三点共线，则k＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
D　[∵向量＝(－1，k)，＝(1,2)，＝(k＋2,0)，且实数k＞0，
∴＝－＝(2,2－k)，
＝－＝(k＋1，－2)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴＝，由k＞0，解得k＝3.故选D．]
2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
D　[法一：(坐标法)以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为1，
则＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝，
∴
解得
∴λ＋μ＝，故选D．
法二：(基底法)由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，
∴解得∴λ＋μ＝，故选D．]
3．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)
A． B．
C． D．
C　[因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.]
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
－6　　[a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.]
[预测创新题型]
5.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的一个动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．
[1,3]　[设扇形的半径为1，以OB所在直线为x轴，O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，
则B(1,0)，A，C(cos θ，sin θ)
.
则＝(cos θ，sin θ)＝x＋y(1,0)，
即
解得x＝，y＝cos θ－，
故x＋3y＝＋3cos θ－sin θ
＝3cos θ－sin θ，0≤θ≤.
令g(θ)＝3cos θ－sin θ，0≤θ≤，
易知g(θ)＝3cos θ－sin θ在上单调递减，
故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，
当θ＝时，g(θ)取得最小值为1，
故x＋3y的取值范围为[1,3]．]
考点3　平面向量的数量积
　平面向量的数量积的运算转换技巧
(1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换．
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝.
(2)用好坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题．
[历年常考题型]
1．(2021·郑州模拟)已知向量a，b满足＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则＝(　　)
A．2 B．
C． D．2
A　[根据题意，＝＝，
则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，结合＝2，
可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
则＝2，故选A．]
2．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
B　[设a与b的夹角为θ，
因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0.
又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos θ－|b|2＝0，
即cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B．]
3．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
A　[法一：·＝||·||·cos∠PAB＝2||cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．
法二：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，且－1所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．]
4．(2021·全国卷甲)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
3　[由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，
所以|b|＝3.]
5．(2021·全国卷乙)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
　[法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.]
[预测创新题型]
6．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则下列选项说法不正确的是(　　)
A．||＝|| B．||≠||
C．·＝· D．·＝·
D　[由题可知，||＝＝1，||＝＝1，所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，则P2，则||≠||，故B正确；
因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以·＝·，故C正确；
因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，
则·＝，·＝cos＝－，所以·≠·，故D错误．故选D．]
7．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠A＝120°，＝m＋，则||的最小值为________，若⊥，则m＝________.
2　　[因为＝m＋，所以2＝(m＋)2＝m22＋2＋2m·
＝36m2＋2×6m×4cos 120°＋16＝36m2－24m＋16＝36＋12≥12，所以||≥2.
若⊥，则·＝0，
即(m＋)·(－)＝0，
所以－m2＋(m－1)·＋2＝0，
所以－36m－12(m－1)＋16＝0，解得m＝.]
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝__________.
－16　[法一：如图，设∠AMB＝θ，则∠AMC＝π－θ.又＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2，
＝－25－5×3cos θ－3×5cos(π－θ)＋9＝－16，
法二：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：
·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16.]
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