第1部分 研习3　不等式与简单的线性规划 学案（Word版含解析）

　不等式与简单的线性规划
考点1　不等式的性质
　常见的比较大小的方法
(1)作差法：作差与0作比较；
(2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)；
(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；
(4)中间值法：取中间值进行大小比较．
[历年常考题型]
1．已知a＜b，则下列结论中正确的是(　　)
A． c＜0，a＞b＋c B． c＜0，a＜b＋c
C． c＞0，a＞b＋c D． c＞0，a＜b＋c
D　[因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，因此D正确，故选D．]
2．设x，y为实数且满足1≤x≤4,0A．1C．0≤xy≤8 D．≥2
A　[∵1≤x≤4,0故选A．]
3．若p>1,0A．>1 B．<
C．m－plognp
D　[法一：(特值法)设m＝，n＝，p＝2，逐个代入可知D正确．
法二：(性质法)对于选项A，因为01，所以0<<1，故A不正确；对于选项B，－＝＝>0，所以>，故B不正确；对于选项C，由于函数y＝x－p在(0，＋∞)上为减函数，且0n－p，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p>1,0lognp，故D正确．]
4．(2021·漳州模拟)若<<1，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．ln(a－b)>0
B．2b－a>1
C．－>－
D．logca>logcb(c>0且c≠1)
C　[指数函数y＝在(－∞，＋∞)上是单调递减的，
由<<1可知，a>b>0.
所以<，则－>－.故C正确；
a－b>0，但不一定有a－b>1，
则不一定有ln(a－b)>0，故A错误；
函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是单调递增的，b－a<0.
则2b－a<20＝1，故B错误；
当0则logca[预测创新题型]
5．已知实数x，y满足log2x＋logeq \s\do8()y>－，则下列结论正确的是(　　)
A．> B．＜1
C．2x－y－1> D．>
C　[由log2x＋logeq \s\do8()y>－，可得log2x－>log2y－，设f(x)＝log2x－，可知该函数在定义域内为增函数，所以x>y>0，因而<，A错误；>1，B错误；又x－y－1>－1，所以2x－y－1>，C正确；由>可得y>x，与已知矛盾，D错误．故选C．]
6．能够说明“若a，b，m均为正数，则>”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．
1,1(答案不唯一)　[若>是假命题，则≤.
又a，b，m都是正数，∴a(b＋m)≤b(a＋m)，
∴am≤bm，∴a≤b，
故当a＝b＝1时，>是假命题．]
考点2　基本不等式
　基本不等式求最值的解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
提醒：解题时要注意 “一正、二定、三相等”．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
[历年常考题型]
1．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C． D．
B　[由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2y时，所以x＋2y的最小值为4.故选B．]
2．(2021·全国卷乙)下列函数中最小值为4的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋
C　[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，
所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意．
选项B：因为y＝|sin x|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，
因此可知y＞4，所以选项B不符合题意．(另解　设|sin x|＝t，则t∈(0,1]，根据函数y＝t＋在(0,1]上单调递减可得ymin＝1＋＝5，
所以选项B不符合题意．)
选项C：因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，
所以ymin＝4，所以选项C符合题意．
选项D：当0综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数，故选C．]
3．设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是____________(填序号)．
①＋有最小值4；
②有最大值；
③＋有最大值；
④a2＋b2有最小值.
①③④　[因为a>0，b>0且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，故①正确；
又因为a>0，b>0且a＋b＝1，
所以ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为，所以＝ab≤，故②错误；
＋＝≤＝，故③正确； a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故④正确．故填①③④.]
4．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
0　[y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．]
[预测创新题型]
5．今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为(　　)
A．＝G B．C．>G D．不能确定
C　[由题意可得Gl1＝al2，Gl2＝bl1，∴G2＝ab，
又a≠b，∴ab≤，∴G2<，
所以>G，故选C．]
6．若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值为________；的最大值为________．
　　[∵log2x＋log2y＝2，∴xy＝4，
∵实数x、y满足x>y>0，
∴＋≥2＝(当且仅当x＝2，y＝时等号成立)，
＝＝≤，
当且仅当x＝2＋2，y＝2－2时等号成立．]
考点3　不等式的解法与恒成立问题
　1.解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f (x)＞a对一切x∈I恒成立 f (x)min＞a，f (x)＜a对一切x∈I恒成立 f (x)max＜a；
(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立 f (x)的图象在g(x)的图象的上方；
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
提醒：解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视对系数a的讨论．
[历年常考题型]
1．已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　)
A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3)
A　[由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0，
则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化为x2＋x－6>0，
即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2，
所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．]
2．若关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
A　[令f(x)＝x2－ax＋1，由题意可得
解得2≤a＜.]
3．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．∪{2}
B　[当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2＜a＜.综上，实数a的取值范围为.故选B．]
4．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．
[－5，＋∞)　[由题意得，a≥－，设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥f(x)max，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝－5，故a≥－5.]
5．已知函数f(x)＝则不等式x2f(x)＋x－2≤0的解集是________．
{x|－1≤x≤1}　[由x2f(x)＋x－2≤0，得
或
即或
∴－1≤x<或≤x≤1，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．]
[预测创新题型]
6．设函数f (x)＝2x2＋bx＋c，不等式f (x)＜0的解集是(1,5)，则f (x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f (x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
2x2－12x＋10　[－10，＋∞)　[由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f (x)＝2x2－12x＋10.不等式f (x)≤2＋t在x∈[1,3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1,3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.]
考点4　简单的线性规划问题
　三种常见的目标函数及其最值求法
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
[历年常考题型]
1．(2021·全国卷乙)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　)
A．18 B．10
C．6 D．4
C　[法一(数形结合法)：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．
解方程组得即点A的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.故选C．
法二(代点比较法)：画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可．
易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3,1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.故选C．
法三(巧用不等式的性质)：因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12①.因为y≤3，所以－2y≥－6②.于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立．故选C．]
2．若x，y满足约束条件则的取值范围为(　　)
A．
B．∪[1，＋∞)
C．[0,1]
D．
A　[作出x，y满足约束条件
的可行域如图阴影部分，表示区域内的点与点(－2,0)连线的斜率，联立方程可得B(2，－2)，同理可得A(2,4)，当直线经过点B时，取最小值：
＝－；当直线经过点A时，取最大值＝1，
则的取值范围为.故选A．]
3．若变量x，y满足约束条件则(x－1)2＋y2的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
B　[画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示．设z＝(x－1)2＋y2，则z的几何意义是区域内的点到定点C(1,0)的距离的平方，
由图象知C到直线2x－y＝0的距离最小，此时点C到直线2x－y＝0的距离为d＝＝，
则z＝d 2＝，
所以(x－1)2＋y2的最小值为.
故选B．]
4．已知实数x，y满足若z＝x＋ay(a＞0)的最大值为10，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．8 D．11
B　[可行域如图中阴影部分所示，
由z＝x＋ay得
y＝－x＋(a＞0)，
由图知，当直线y＝－x＋经过点A(2,4)时，z有最大值．
∴2＋4a＝10，解得a＝2，故选B．]
[预测创新题型]
5．已知实数x，y满足且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为________，若目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于________．
(2，＋∞)　5　[作出可行域如图，
则要为三角形需满足B(1,1)在直线x＋y＝m下方，即1＋1＜m，m＞2；目标函数可视为y＝x－z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时zmin＝－1，直线PA：y＝x＋1，与AB：y＝2x－1的交点为A(2,3)，该点也在直线AC：x＋y＝m上，故m＝2＋3＝5.]
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