第1部分 研习4 算法与推理证明 学案（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第1部分 研习4 算法与推理证明 学案（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 242.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-22 07:33:54 | ||
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文档简介
算法与推理证明
考点1 算法
程序框图中2类常考问题的解题技巧
(1)运行结果问题：先明确所给框图的类型，再顺次执行运算流程，尤其注意循环结构中的三个量：初始值、累加(积)变量和控制循环的变量，此类问题可采用列举法求解．
(2)框图完备问题：对于补充循环结构的判断条件问题，可创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可；对于补全循环体问题，可依据算法原理解决．
[历年常考题型]
1．(2021·西安模拟)如图所示的程序框图中，若输入的x∈(－1,6)，则输出的y∈( )
A．(0,7) B．
C．[0,7] D．
C [该程序的功能是计算并输出变量
y＝的值．
若输入的x∈(－1,6)，
则x∈(－1,2]时，y＝x2∈[0,4]；
x∈(2,5]时，y＝2x－3∈(1,7]；
x∈(5,6)时，y＝∈.
综上，输出的y∈[0,7]．故选C．]
2．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3,1，则输出的n＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
B [输入的a，b分别为3,1时，执行程序框图得n＝1，a＝，b＝2；n＝2，a＝，b＝4；n＝3，a＝，b＝8；n＝4，a＝，b＝16，
此时a＜b，输出n＝4.故选B．]
3．(2021·郑州模拟)如图所示程序框图是为了求出满足3n－2n＞2 020的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A．A＞2 020和n＝n＋1
B．A＞2 020和n＝n＋2
C．A≤2 020和n＝n＋1
D．A≤2 020和n＝n＋2
D [因为要求A＞2 020时的最小偶数n，且在“否”时输出，所以在“”内不能填入“A＞2 020”，而要填入“A≤2 020”．因为要求的n为偶数且n的初始值为0，所以在“”中n依次加2可保证其为偶数，故应填“n＝n＋2”．故选D．]
4．如图是求的算法框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝2＋ B．A＝
C．A＝ D．A＝
C [看最外层根号，知循环体为A＝，循环次数为2，验证：
第一步：A＝，k＝1＜3，是，满足条件；
第二步：A＝，k＝2＜3，是，满足条件；
第三步：A＝，k＝3，否，输出A＝，
验证后正确，则A＝.故选C．]
[预测创新题型]
5．已知{Fn}是斐波那契数列，则F1＝F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n∈N*且n≥3)．如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n＝( )
A．10 B．18
C．20 D．22
C [执行程序框图，i＝1，a＝1，b＝1，满足条件，输出斐波那契数列的前2项；a＝1＋1＝2，b＝1＋2＝3，i＝2，满足条件，输出斐波那契数列的第3项、第4项；…；每经过一次循环，输出斐波那契数列的2项，i＝11时，共输出了斐波那契数列的前20项，此时不满足条件，退出循环体．故n＝20.故选C．]
考点2 推理证明
三类推理的解题要点
(1)归纳推理题的3步骤：发现共性、归纳推理、检验结论；
(2)类比推理题的3个关键：定类、类比和检验；
3 逻辑推理的解题绝招：假言判断，即假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合.
[历年常考题型]
1．观察下列各式a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a12＋b12＝( )
A．322 B．521
C．123 D．199
A [因为a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，等式右边对应的数为1,3,4,7,11，…，所以其规律为从第三项起，每项等于其相邻两项的和．因此，求a12＋b12，即是求数列“1,3,4,7,11，…”中的第12项，所以对应的数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322”，即第12项为322.]
2．若一个人下半身长(肚脐至足底)与全身长的比近似为，堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好．若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72 cm，肚脐至足底长度为103 cm，根据以上数据，作为形象设计师的你，对此人的着装建议是( )
A．身材完美，无需改善
B．可以戴一顶合适高度的帽子
C．可以穿一双合适高度的增高鞋
D．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
C [因为＝≈0.589＜0.618，
所以要增加下身长度，
故可以穿一双合适高度的增高鞋．故选C．]
3．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是( )
A．丙有可能没有选素描
B．丁有可能没有选素描
C．乙、丁可能两门课都相同
D．这四个人里恰有2个人选素描
C [因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．
那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；
若丙没选素描，则丁必定选择了素描．
综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选择，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：
情形一：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × √ ×
摄影 √ × × √
情形二：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × × √
摄影 √ × √ ×
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确．故选C．]
4．在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似不难得出1＋＝________.
[令1＋＝t(t＞0)，
由1＋＝t，解得t＝，∵t＞0，∴t＝.]
[预测创新题型]
5.祖暅(公元5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)，称为椭球体，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
πb2a [椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝πb2a.
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考点1 算法
程序框图中2类常考问题的解题技巧
(1)运行结果问题：先明确所给框图的类型，再顺次执行运算流程，尤其注意循环结构中的三个量：初始值、累加(积)变量和控制循环的变量，此类问题可采用列举法求解．
(2)框图完备问题：对于补充循环结构的判断条件问题，可创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可；对于补全循环体问题，可依据算法原理解决．
[历年常考题型]
1．(2021·西安模拟)如图所示的程序框图中，若输入的x∈(－1,6)，则输出的y∈( )
A．(0,7) B．
C．[0,7] D．
C [该程序的功能是计算并输出变量
y＝的值．
若输入的x∈(－1,6)，
则x∈(－1,2]时，y＝x2∈[0,4]；
x∈(2,5]时，y＝2x－3∈(1,7]；
x∈(5,6)时，y＝∈.
综上，输出的y∈[0,7]．故选C．]
2．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3,1，则输出的n＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
B [输入的a，b分别为3,1时，执行程序框图得n＝1，a＝，b＝2；n＝2，a＝，b＝4；n＝3，a＝，b＝8；n＝4，a＝，b＝16，
此时a＜b，输出n＝4.故选B．]
3．(2021·郑州模拟)如图所示程序框图是为了求出满足3n－2n＞2 020的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A．A＞2 020和n＝n＋1
B．A＞2 020和n＝n＋2
C．A≤2 020和n＝n＋1
D．A≤2 020和n＝n＋2
D [因为要求A＞2 020时的最小偶数n，且在“否”时输出，所以在“”内不能填入“A＞2 020”，而要填入“A≤2 020”．因为要求的n为偶数且n的初始值为0，所以在“”中n依次加2可保证其为偶数，故应填“n＝n＋2”．故选D．]
4．如图是求的算法框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝2＋ B．A＝
C．A＝ D．A＝
C [看最外层根号，知循环体为A＝，循环次数为2，验证：
第一步：A＝，k＝1＜3，是，满足条件；
第二步：A＝，k＝2＜3，是，满足条件；
第三步：A＝，k＝3，否，输出A＝，
验证后正确，则A＝.故选C．]
[预测创新题型]
5．已知{Fn}是斐波那契数列，则F1＝F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n∈N*且n≥3)．如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n＝( )
A．10 B．18
C．20 D．22
C [执行程序框图，i＝1，a＝1，b＝1，满足条件，输出斐波那契数列的前2项；a＝1＋1＝2，b＝1＋2＝3，i＝2，满足条件，输出斐波那契数列的第3项、第4项；…；每经过一次循环，输出斐波那契数列的2项，i＝11时，共输出了斐波那契数列的前20项，此时不满足条件，退出循环体．故n＝20.故选C．]
考点2 推理证明
三类推理的解题要点
(1)归纳推理题的3步骤：发现共性、归纳推理、检验结论；
(2)类比推理题的3个关键：定类、类比和检验；
3 逻辑推理的解题绝招：假言判断，即假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合.
[历年常考题型]
1．观察下列各式a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a12＋b12＝( )
A．322 B．521
C．123 D．199
A [因为a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，等式右边对应的数为1,3,4,7,11，…，所以其规律为从第三项起，每项等于其相邻两项的和．因此，求a12＋b12，即是求数列“1,3,4,7,11，…”中的第12项，所以对应的数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322”，即第12项为322.]
2．若一个人下半身长(肚脐至足底)与全身长的比近似为，堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好．若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72 cm，肚脐至足底长度为103 cm，根据以上数据，作为形象设计师的你，对此人的着装建议是( )
A．身材完美，无需改善
B．可以戴一顶合适高度的帽子
C．可以穿一双合适高度的增高鞋
D．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
C [因为＝≈0.589＜0.618，
所以要增加下身长度，
故可以穿一双合适高度的增高鞋．故选C．]
3．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是( )
A．丙有可能没有选素描
B．丁有可能没有选素描
C．乙、丁可能两门课都相同
D．这四个人里恰有2个人选素描
C [因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．
那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；
若丙没选素描，则丁必定选择了素描．
综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选择，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：
情形一：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × √ ×
摄影 √ × × √
情形二：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × × √
摄影 √ × √ ×
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确．故选C．]
4．在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似不难得出1＋＝________.
[令1＋＝t(t＞0)，
由1＋＝t，解得t＝，∵t＞0，∴t＝.]
[预测创新题型]
5.祖暅(公元5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)，称为椭球体，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
πb2a [椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝πb2a.
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