第2部分 专题1 第1讲　三角函数的图象与性质学案（Word版含解析）

　三角函数的图象与性质
考点1　三角函数的值域、最值
1．(2021·全国卷乙)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
C　[因为函数f(x)＝sin＋cos＝＝＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C．]
2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
－4　[∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]
3．(2020·北京高考)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________.
(答案不唯一，只要符合＋2kπ，k∈Z即可)　
[法一：由f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x
＝sin xcos φ＋cos xsin φ＋cos x
＝cos φsin x＋(1＋sin φ)cos x
＝sin(x＋θ).
∵sin(x＋θ)≤1，
∴＝＝2时，f(x)的最大值为2，∴2sin φ＝2，
∴sin φ＝1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ的一个取值可为.
法二：∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，
又sin(x＋φ)≤1，cos x≤1，
则sin(x＋φ)＝cos x＝1时，f(x)取得最大值2.
由诱导公式，得φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ的一个取值可为.]
命题规律：高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等．
通性通法：三角函数值域(最值)的3种求法
(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性求解．
(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sin x的单调性求出函数的值域(最值)．
(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsin x＋c和y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．
1．[与恒等变换交汇]当函数y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.
　[∵y＝sin x－cos x＝2＝2sin.
∵0≤x＜2π，∴－≤x－＜.
∴当x－＝，即x＝时，函数取得最大值．]
2．[求参数ω的范围]已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．
　[函数f(x)＝sin(ω＞0)在上有最大值，但没有最小值，所以ω·＋＜＜ω·＋≤ ω∈.]
3．[知识交汇求最值]已知函数f(x)＝2cos x＋sin 2x，则f(x)的最大值为________．
　[∵f ′(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝2－4sin2x－2sin x＝－2(2sin x－1)(sin x＋1)，
由f ′(x)＝0得sin x＝或sin x＝－1.
∴当－1＜sin x＜时，f ′(x)＞0，
当＜sin x＜1时，f ′(x)＜0.
∴当sin x＝时，f(x)取得极大值．
此时cos x＝－或cos x＝.
经验证可知，当cos x＝时，f(x)有最大值，又f(x)＝2cos x(sin x＋1)，
∴f(x)max＝2××＝.]
考点2　三角函数的图象与解析式
1．(2021·全国卷乙)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
B　[依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sineq \o(――――――――――――――――――――→,\s\up12(将其图象向左平移个单位长度))y＝sin的图象f(x)＝sin的图象．]
2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
C　[由图象知＝－＝，得T＝π，所以ω＝＝2.又图象过点，由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，所以sin(ωx＋φ)＝sin，故A错误；由sin＝sin＝sin＝－sin知B错误；由sin＝sin＝cos知C正确；由sin＝cos＝cos＝－cos知D错误．
综上可知，正确的选项为C．]
3．(2021·全国卷甲)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________．
2　[由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f(x)＝2cos，所以f ＝2cos＝2cos＝2cos＝1，f ＝2cos＝2cos＝0，所以＞0，即(f(x)－1)f(x)＞0，可得f(x)＞1或f(x)＜0，所以cos＞或cos＜0.当x＝1时，2x－＝2－∈，cos∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2.]
命题规律：高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换．前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力．常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等．
通性通法：求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法
字母 确定途径 说明
A、B 由最值确定 A＝，B＝
ω 由函数的周期确定 利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期
φ 由图象上的特殊点确定 代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ
提醒：三角函数图象的平移问题
(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一．
(2)将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向．
1．[图象变换]下列选项中，函数f(x)＝2sin的图象可以由函数g(x)＝sin 2x－cos 2x的图象变化得到的是(　　)
A．先将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
B．先将g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C．先将g(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．先将g(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D　[把函数g(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin的图象上所有点向左平移个单位长度，可得y＝2sin的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f(x)＝2sin的图象．或者先将g(x)＝2sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，再向左平移个单位长度，可得函数f(x)＝2sin的图象．故选D．]
2．[图象平移的应用]若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小正值为(　　)
A． B．
C． D．
D　[将y＝tan的图象向右平移个单位长度，得到y＝tan的图象，
由平移后的图象与y＝tan的图象重合，
得－＝kπ＋，k∈Z，故ω＝－6k＋，k∈Z，
所以ω的最小正值为.]
3．[知图求值]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，则f(x)＝________，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝________.
2sin x　　[由题图知A＝2，＝6－2＝4，
∴T＝8，则ω＝＝.∴y＝2sin.
又∵函数图象过点(2,2)，
∴2sin＝2，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
则φ＝2kπ(k∈Z)，∴f(x)＝2sin x.
∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5) ＋f(6)＝.]
考点3　三角函数的性质及应用
1．(2021·新高考卷Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
A　[法一：(常规求法)令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得－≤x≤.因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
法二：(判断单调性法)当0＜x＜时，－＜x－＜，所以f(x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以f(x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以f(x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f(x)在上不单调，故D不正确．故选A．
法三：(特殊值法)因为＜＜＜π，但f ＝7sin＝7，f ＝7sin＜7，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f ＝7sin π＝0，f ＝7sin＝－＜0，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f ＝7sin＝－7sin＞－7，f ＝7sin＝－7，所以区间不是函数f(x)的单调递增区间，排除D．故选A．]
2．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
A　[法一：(直接法)f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A．
法二：(单调性法)因为f(x)＝cos x－sin x，所以f ′(x)＝－sin x－cos x，则由题意，知f ′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，即·sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝·sin的图象可知有解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A．]
3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
C　[法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C．
法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C．
法三：画出函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确，故选C．
]
命题规律：高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断(或求解)，二是利用性质求参数的范围(值)，常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等．准确理解y＝sin x(y＝cos x)的有关性质是求解此类问题的关键.
通性通法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)根据y＝sin t的性质研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω>0)的性质：
由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得减区间；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．
1．[直接考查性质]下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
A　[易知A，B项中函数的最小正周期为；C中f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，D中f(x)＝sin|x|＝ 由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，排除C，D．
又当x∈时，2x∈，
则y＝|cos 2x|＝－cos 2x在上是增函数，y＝|sin 2x|＝sin 2x在是减函数，因此A项正确，B项错误．]
2．[求参数的值或范围]已知函数f(x)＝cos，x∈，若方程f(x)＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．　　　 B．
C． D．
B　[因为x∈，所以设t＝2x－，则t∈，方程f(x)＝m有两个不相等的实数根等价于函数y＝f(t)的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝f(t)的图象与直线y＝m的位置如图所示，由图可得实数m的取值范围是≤m＜1，故选B．
]
3．[图象性质综合问题]已知函数f(x)＝则下列说法不正确的是(　　)
A．f(x)的值域是[0,1]
B．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)在[0,2π]上有2个零点
B　[f(x)＝
作出函数f(x)的大致图象如图所示．
由图可知f(x)的值域是[0,1]，故A正确；
因为f(π)＝|sin π|＝0，f(2π)＝|cos 2π|＝1，所以f(2π)≠f(π)，所以π不是f(x)的最小正周期，故B不正确；
由图知f(x)在区间上单调递增，在上单调递减，故C正确；
由图知，在[0,2π]上，f(π)＝f ＝0，所以f(x)在[0,2π]上有2个零点，故D正确．故选B．]
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