第2部分 专题1 第2讲　三角恒等变换与解三角形 学案（Word版含解析）

　三角恒等变换与解三角形
考点1　三角恒等变换
1．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
C　[法一：(求值代入法)因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C．
法二：(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C．
法三：(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，
所以sin θ＝－2cos θ.
则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C．]
2．(2021·全国卷甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[因为α∈，所以tan 2α＝＝ ＝ 2cos2α－1＝4sin α－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α sin α＝ tan α＝.]
3．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B．]
4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－　[∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.]
命题规律：高考常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等. 命题突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”．从“角”入手，活用三角恒等变换公式是破解此类问题的关键．
通性通法：三角恒等变换的技巧
(1) “化异为同”：即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂．
(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，＋α＝－，α＝－等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．
1．[与三角函数的定义交汇](2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点．若A的横坐标为，则(　　)
A．sin α＝ B．cos 2α＝－
C．sin 2α＝－ D．tan 2α＝－
B　[由三角函数的定义，可知cos α＝，sin α＝±，则cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α，tan 2α均有两解，故选B．]
2．[给值求值]若sin＝，则sin的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[由sin＝得cos＝1－2sin2＝1－2×＝－，
∴sin＝sin＝cos＝－，故选D．]
3．[给值求角]已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　)
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
B　[tan α＝＝
＝
＝＝＝tan，
因为α∈，β∈，
所以α＝＋β，即α－β＝.]
4．[给角求值](tan 10°－)·＝________.
－2　[(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)·＝·＝·＝－＝－2.]
考点2　利用正、余弦定理解三角形
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3
A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A．]
2．(2021·全国卷甲)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.
又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.]
3．(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝.
[解]　(1)∵c＝2bcosB，则由正弦定理可得sin C＝2sinBcosB，
∴sin 2B＝sin＝，
∵C＝，∴B∈，2B∈，
∴2B＝，解得B＝.
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得＝＝＝，
与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在．
若选择②：由(1)可得A＝，
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R，
c＝2Rsin＝R，
则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，
解得R＝2，则a＝2，c＝2，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：
＝.
若选择③：由(1)可得A＝，即a＝b，
则S△ABC＝absin C＝a2×＝，解得a＝，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：
eq \r(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))－2×b×\f(a,2)×cos\f(2π,3))＝＝.
4．(2021·新高考卷Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)∵2sin C＝3sin A 2c＝3a，
又∵c＝a＋2，∴，∴b＝5，
∴cos C＝＝，sin C＝，
∴S△ABC＝×4×5×＝.
(2)显然c＞b＞a，要使△ABC为钝角三角形，则只需C为钝角，
∴cos C＝＜0 a2－2a－3＜0，
∴0＜a＜3且a＋a＋1＞a＋2 a＞1，
∴1＜a＜3，∵a∈Z，∴a＝2，∴存在正整数a＝2满足题意．
命题规律：高考常以1个选择题和1个解答题的形式考查，占17分，基础题为主；命题重在考查几何图形的边、角、面积的计算，解题的关键是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的灵活运用．
通性通法：等价转化思想在解三角形中的应用
(1)利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化．①当出现边角混合时，常利用正弦定理；②当出现三边的平方时，常利用余弦定理．
(2)若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”；若想“角”往“边”化，常利用sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝(R为三角形外接圆的半径)等．
1．[以平面图形为载体]在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝(　　)
A． B．
C． D．2
C　[如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C．]
2．[与恒等变换交汇]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝b，c＞a，则角C的大小为(　　)
A． B．
C． D．
D　[∵sin A＝，a＝b，c＞a，
∴由正弦定理可得sin A＝sin B，
可得sin B＝＝＝，
∵c＞a＞b，∴cos A＝＝，
cos B＝＝，
∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B
＝×－×＝－，∵0＜C＜π，∴C＝.]
3．[以空间图形为载体]如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.
10　[设CD＝h，则AD＝，BD＝h.
在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，
则由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，
可得1302＝3h2＋－2·h··，
解得h＝10，故塔的高度为10 m．]
4．[综合应用]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4，求a的值．
[解]　(1)由正弦定理及＝c，
得＝sin C，
∵sin C≠0，∴sin A＝(1－cos A)，
∴sin A＋cos A＝2sin＝，
∴sin＝，
又0∴A＋＝，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝4，∴bc＝16.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3bc，
又b＋c＝10，
∴a2＝102－3×16＝52，∴a＝2.
考点3　与解三角形有关的最值、范围问题
1．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
[解]　(1)∵sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C，
由正弦定理，得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，
∴AC2＋AB2－BC2＝－AC·AB，
∴cos A＝＝－.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)法一：(基本不等式)由余弦定理的推论，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，
即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.
∵AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)，
∴9＝(AC＋AB)2－AC·AB
≥(AC＋AB)2－＝(AC＋AB)2，
∴AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)，
∴△ABC的周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，
∴△ABC周长的最大值为3＋2.
法二：(三角函数有界性)由正弦定理，得＝＝＝＝2，
∴AB＝2sin C，AC＝2sin B．
∵A＝，∴C＝－B．
∴AB＋AC＝2sin＋2sin B
＝2＋2sin B
＝3cos B＋sin B＝2sin.
当B＝时，AB＋AC取得最大值2，
∴△ABC周长的最大值为3＋2.
2．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin ＝sin Bsin A．
因为sin A≠0，所以sin＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是.
命题规律：与三角形有关的最值(范围)问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，常以解答题的形式出现，分值12分，难度中等；借助三角函数的有界性及基本不等式，建立不等关系是解答此类问题的关键所在.
通性通法：三角形面积的最值问题的两种解决方法
一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；
二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值．
提醒：(1)要重视在余弦定理中用基本不等式，实现a2＋b2，ab，a＋b三者的互化．
(2)注意在锐角三角形中隐含着：①A＋B＞；②若A＝，则＜B，C＜.
1．[求角的范围]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，
又B∈(0，π)，∴B∈，故选C．]
2．[求边的范围]设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)
A．(，) B．(1，)
C．(，2) D．(0,2)
A　[∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin Acos A．
∵a＝1，∴b＝2acos A＝2cos A．
又△ABC为锐角三角形，∴
∴＜A＜，
∴＜cos A＜.
即＜b＝2cos A＜，故选A．]
3．[三角函数与解三角形的综合问题]已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状．
[解]　(1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，又b＝(－sin x，sin x)，
则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x
＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值.
(2)锐角△ABC中，因为f ＝sin＋＝1，
∴sin＝，∴A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以12＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形．
S△ABC＝bcsin A＝bc≤3.
所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.
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