第2部分 专题5 第1讲　直线与圆

　直线与圆
考点1　直线的方程及应用
1．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2
B　[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
2．(2021·全国卷乙)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．
　[由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3,0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝.]
命题规律：考查重点是直线间的平行和垂直的应用、与距离、最值有关的问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．
通性通法：求直线方程的方法
求直线方程主要有直接法和待定系数法．直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程．待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程．
提醒：求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要验证与x、y轴垂直的特殊情况．
1．[与充分必要条件交汇]已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝1
C．m＝－2或m＝1 D．m＝2或m＝1
C　[∵直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则m(m＋1)－2＝0，解得m＝－2或m＝1；当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2” “m＝－2”，
故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝－2或m＝1”，故选C．]
2．[与物理学交汇]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)
A．2 B．1
C． D．
D　[以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，
所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，
根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即＝，解得m＝或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝.故选D．]
3．[与不等式交汇]已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________．
　[由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0,4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3,0)．
易知直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MA⊥MB，
所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，故|MA|·|MB|≤.]
考点2　圆的方程及应用
1．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．
B　[因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B．]
2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.
x2＋y2－2x＝0　[法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴
解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二：画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.]
命题规律：圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，属于中档题目．
通性通法： 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
1．[以阿波罗尼圆为载体]古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”．现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是(　　)
A．2 B．4
C．3 D．4
B　[以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设甲、乙两地的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则＝·，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为×4×2＝4.]
2．[与圆锥曲线交汇]已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________．
x2＋(y－3)2＝10　[∵P(3,4)为C上一点，∴－＝1，
解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝＝2，
PB的中点坐标为(2,2)，
PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，
令x＝0，则y＝3，
设外接圆圆心为M(0，t)，
则M(0,3)，r＝|MB|＝＝，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.]
3．[由圆的一般方程求参数(或范围)](2021·珠海一模)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为________．
(－∞，1)∪(4，＋∞)　[根据题意，若方程
x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，
则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，
即(x＋k)2＋(y＋2)2＝k2－5k＋4，
必有k2－5k＋4＞0，解得k＜1或k＞4，
即k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞)．]
考点3　直线与圆的位置关系
1．(2021·新高考卷Ⅰ改编)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则下列结论成立的是(　　)
①点P到直线AB的距离小于10；
②点P到直线AB的距离大于2；
③当∠PBA最小时，|PB|＝3；
④当∠PBA最大时，|PB|＝3.
A．①② B．②③
C．②③④ D．①③④
D　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故①正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故②不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故③④都正确．综上，选D．
]
2．(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
D　[法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0　①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由得所以P(－1,0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0　②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．
法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．
连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1,0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1,1)．因为点A(－1,1)在直线AB上，故排除B．故选D．]
3．(2020·天津高考)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
5　[依题意得，圆心(0,0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋＝25，又r＞0，所以r＝5.]
命题规律：以直线与圆的位置关系为切入点，结合圆的几何性质，勾股定理及距离等相关知识考查数形结合及数学运算能力．一般以选择题、填空题的形式出现，知识相对综合，有一定的区分度．
通性通法：解决直线与圆的位置关系问题应关注3点
(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据相关几何性质求解．
(2)弦长问题，主要依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．
(3)过圆内一点且垂直于过这点的半径的弦最短．
1．[直线与圆的关系](2021·广东二模)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为(　　)
A．l与C可能相离
B．l可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为
D．l被C截得的最短弦长为4
D　[对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；
对于B选项，若直线l将圆C平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项错误；
对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝，所以，直线l被C截得的弦长为2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))))＝3，C选项错误；
对于D选项，圆心C到直线l的距离为d＝≤1，
所以，直线l被C截得的弦长为2≥4，D选项正确．故选D．]
2．[圆与圆的位置关系]若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.
　[联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为＝(a>0)．
故2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),a))))＝2，解得a2＝，
因为a>0，所以a＝.]
3．[切线问题]设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
　[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.
所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.]
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