高三数学二轮空间几何体
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第十一讲空间几何体
命题要点：（1）柱、锥、台、球的结构特征；（2）表面积、体积的求法；（3）直观图、三视图的画法。
命题趋势：空间几何体在高考命题中重点考查对三视图的识别和三视图与直观图的应用这两个方面。对三视图的识别的考查，命题多以选择题、填空题为主，考查学生对三视图的理解和对常见几何模型的认识，形式多变，但难度一般；三视图与直观图的应用，重点以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特点，求几何体的表面积和体积问题。
方法总结：
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
2.(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
题型分析：
类型一 空间几何体与三视图
1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．
[例1] (2012年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
[解析] 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
[答案] B
跟踪训练
（1）如图所示，三棱锥P ABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是( )
解析：三棱锥的正视图．
即是光线从三棱锥模型的前面向后面投影所得到投影图形．结合题设条件给出的数据进行分析．可知D正确．
答案：D
（2）?(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.
答案 D
点评： (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
类型二 空间几何体的表面积与体积
1．柱体的体积公式：V＝Sh.
2．锥体的体积公式：V＝Sh.
3．台体的体积公式：V＝(S′＋＋S)h.
4．球的表面积与体积公式：S＝4πR2与V＝πR3(R为球的半径)．
[例2] (2012年高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
[解析] 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积．
由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，
BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD，所以AC＝且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝.
在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，则AB边上的高h＝6，
故S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
[答案] B
跟踪训练
(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．
A．18 B．12 C．9 D．6
[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V＝3×3×＝9.
答案 C
点评：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．
类型三 球与空间几何体的切、接问题
1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．
2．正方体的内切球其棱长为球的直径．
3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．
4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
[例3] (2012年高考课标全国卷)已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 利用三棱锥的体积变换求解．
由于三棱锥S ABC与三棱锥O ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S ABC的高是三棱锥O ABC高的2倍，
所以三棱锥S ABC的体积也是三棱锥O ABC体积的2倍
在三棱锥O -ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝＝，
∴VS-ABC＝2VO-ABC
＝2×××＝.
[答案] A
跟踪训练
1．(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
解析：利用三视图还原几何体，结合直观图求解．
由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.
V＝V半球＋V圆锥＝·π·33＋·π·32·4＝30π.
答案：C
2．(2012年大同模拟)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则依题意有＝4π，解得R＝.因为a＝2R＝2，所以a＝2，故该正方体的表面积为6a2＝24.
答案：24
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】 (2012年高考安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
【解析】 将三视图还原为直观图求解．
由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．
在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.
所以其表面积为：2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
【答案】 92
【名师点睛】 本题考查空间几何体三视图的理解与应用．考查几何体表面积的计算．难度中等．本题解题关键是还原几何体后，确定相关量与数据准确对应．
考情展望
空间几何体的考查多以选择、填空题形式出现．主要涉及空间几何体的三视图，以及空间几何体的表面积与体积的计算．难度中档偏下．着重考查学生空间想象能力．
名师押题
【押题】 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
A.m3 B.m3 C.m3 D.m3
【解析】 结合三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个高为1、底面是直角，边长为1的等腰直角三角形的直三棱柱组成的，所以该几何体的体积V＝3×1×1×1＋×1×1×1＝m3.
【答案】 C
经典作业
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：由三视图可知，该几何体的直观图为B.
答案：B
2．(2011·辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧(左)视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a，
则a2·a＝2，
∴a3＝8，∴a＝2，
由俯视图知，该正三棱柱如图ABC－A1B1C1，
其侧(左)视图即为矩形CDD1C1，
其面积为×2＝2.
答案：B
3．(2011·山师大附中高三模拟)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
解析：根据给出的正(主)视图和侧(左)视图可知，该组合体由上、中、下三个几何体组合而成，由于正(主)视图和侧(左)视图中三层均为矩形，所以这些几何体可能是一些长方体、底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱组合而成的．而第⑤个俯视图中，有两处与已知不符，一是上层几何体的俯视图不正确，由于上层几何体的正(主)视图与侧(左)视图为两个相同的矩形，所以其俯视图中矩形的两边长应该相等；二是下层几何体的俯视图不正确，如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形，则在正(主)视图中底层的矩形应有一条中位线，这与已知不符合，所以⑤不可能，故选D.
答案：D
4．(2011·湖北)设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )
A．V1比V2大约多一半 B．V1比V2大约多两倍半
C．V1比V2大约多一倍 D．V1比V2大约多一倍半
解析：设球的内接正方体的边长为a，
球的半径为R，∴2R＝a，∴R＝a.
∴V1＝πR3＝π·a3＝πa3，
V2＝a3，∴V1＝πV2≈2.5V2，∴V1－V2≈1.5V2.
答案：D
5．(2011·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
解析：由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥
S底＝4×4＝16，S侧＝4××4×2＝16
∴S表面积＝S底＋S侧＝16＋16.
答案：B
6．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示．
∠ASC＝∠BSC＝45°
且OS＝OB＝OA＝OC＝2，
∴△SOB，△SOA为全等的等腰直角三角形，
且SC⊥OB，SC⊥OA，
又OA∩OB＝O，∴SC⊥平面AOB
又∵AB＝OB＝OA＝2，
∴△AOB为等边三角形
∴VS－ABC＝VS－AOB＋VC－AOB＝·S△AOB·SC＝××4＝.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．(2011·全国新课标版)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
解析：令球心为O，圆锥底面圆圆心为O′，球半径为R，圆锥底面圆半径为r，则·4πR2＝πr2，
∴r＝R，在Rt△AOO′中， OO′＝＝.
故＝＝.
答案：
8．(2011·洛阳市高三模拟)图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展形图内的概率是，则此长方体的体积是________．
解析：设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知＝，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.
答案：3
9．(2011·北京市海淀区高三第二学期练习)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________．
解析：依题意得三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积之比等于1.
答案：1
10．一个几何体的三视图如图所示，已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形，侧(左)视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
答案：
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·浙江省宁波市)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求二面角A－CF－B的余弦值；
(3)求多面体A－CDEF的体积．
解：
由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF＝4，
DE＝CF＝4，∠CBF＝.
(1)证明：连接BE，易知BE通过点M，连接CE.
则EM＝BM，CN＝BN，∴MN∥CE，又CE?平面CDEF，MN?平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.
(2)作BQ⊥CF于Q，连接AQ，
∵平面BFC⊥平面ABFE，平面ABFE∩平面BCF＝BF，AB?平面ABFE，AB⊥BF，∴AB⊥平面BCF，
又CF?平面BCF，∴AB⊥CF，又BQ⊥CF，AB∩BQ＝B，∴CF⊥平面ABQ，∵AQ?平面ABQ，∴AQ⊥CF，故∠AQB为所求二面角的平面角．
在Rt△ABQ中，tan∠AQB＝＝＝，则
cos∠AQB＝，故所求二面角的余弦值为.
(3)多面体A－CDEF的体积V＝2×VA－CEF＝2×VC－ABF＝2×S△ABF·BC＝.
12．(13分)(广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图(2)、(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)证明：直线BD⊥平面PEG.
分析：(1)根据正(主)视图和俯视图可以知道其侧(左)视图和正(主)视图是完全相同的；(2)根据两个视图给出的标记，这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40 cm、高为20 cm的长方体，上半部分四棱锥的高为60 cm，根据公式计算即可；(3)根据正四棱锥的性质进行证明．
解：
(1)该安全标识墩侧(左)视图如右图所示．
(2)该安全标识墩的体积
V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH
＝×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．
(3)
证明：如右图所示，连接HF、EG.由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又∵ABCD－EFGH为长方体，
∴BD∥FH.
设点O是EFGH的对称中心，连接PO.
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH?平面EFGH，
∴PO⊥FH.
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO?平面PEG，EG?平面PEG，
∴FH⊥平面PEG.
而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.
点评：解这类给出了直观图和三视图中的两个图形的题目，只要根据直观图得出另一个视图的形状，再根据给出的两个视图上标注的几何量，在第三个视图上标注上几何量即可．
命题要点：（1）柱、锥、台、球的结构特征；（2）表面积、体积的求法；（3）直观图、三视图的画法。
命题趋势：空间几何体在高考命题中重点考查对三视图的识别和三视图与直观图的应用这两个方面。对三视图的识别的考查，命题多以选择题、填空题为主，考查学生对三视图的理解和对常见几何模型的认识，形式多变，但难度一般；三视图与直观图的应用，重点以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特点，求几何体的表面积和体积问题。
方法总结：
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
2.(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
题型分析：
类型一 空间几何体与三视图
1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．
[例1] (2012年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
[解析] 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
[答案] B
跟踪训练
（1）如图所示，三棱锥P ABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是( )
解析：三棱锥的正视图．
即是光线从三棱锥模型的前面向后面投影所得到投影图形．结合题设条件给出的数据进行分析．可知D正确．
答案：D
（2）?(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.
答案 D
点评： (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
类型二 空间几何体的表面积与体积
1．柱体的体积公式：V＝Sh.
2．锥体的体积公式：V＝Sh.
3．台体的体积公式：V＝(S′＋＋S)h.
4．球的表面积与体积公式：S＝4πR2与V＝πR3(R为球的半径)．
[例2] (2012年高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
[解析] 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积．
由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，
BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD，所以AC＝且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝.
在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，则AB边上的高h＝6，
故S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
[答案] B
跟踪训练
(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．
A．18 B．12 C．9 D．6
[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V＝3×3×＝9.
答案 C
点评：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．
类型三 球与空间几何体的切、接问题
1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．
2．正方体的内切球其棱长为球的直径．
3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．
4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
[例3] (2012年高考课标全国卷)已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 利用三棱锥的体积变换求解．
由于三棱锥S ABC与三棱锥O ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S ABC的高是三棱锥O ABC高的2倍，
所以三棱锥S ABC的体积也是三棱锥O ABC体积的2倍
在三棱锥O -ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝＝，
∴VS-ABC＝2VO-ABC
＝2×××＝.
[答案] A
跟踪训练
1．(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
解析：利用三视图还原几何体，结合直观图求解．
由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.
V＝V半球＋V圆锥＝·π·33＋·π·32·4＝30π.
答案：C
2．(2012年大同模拟)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则依题意有＝4π，解得R＝.因为a＝2R＝2，所以a＝2，故该正方体的表面积为6a2＝24.
答案：24
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】 (2012年高考安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
【解析】 将三视图还原为直观图求解．
由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．
在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.
所以其表面积为：2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
【答案】 92
【名师点睛】 本题考查空间几何体三视图的理解与应用．考查几何体表面积的计算．难度中等．本题解题关键是还原几何体后，确定相关量与数据准确对应．
考情展望
空间几何体的考查多以选择、填空题形式出现．主要涉及空间几何体的三视图，以及空间几何体的表面积与体积的计算．难度中档偏下．着重考查学生空间想象能力．
名师押题
【押题】 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
A.m3 B.m3 C.m3 D.m3
【解析】 结合三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个高为1、底面是直角，边长为1的等腰直角三角形的直三棱柱组成的，所以该几何体的体积V＝3×1×1×1＋×1×1×1＝m3.
【答案】 C
经典作业
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：由三视图可知，该几何体的直观图为B.
答案：B
2．(2011·辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧(左)视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a，
则a2·a＝2，
∴a3＝8，∴a＝2，
由俯视图知，该正三棱柱如图ABC－A1B1C1，
其侧(左)视图即为矩形CDD1C1，
其面积为×2＝2.
答案：B
3．(2011·山师大附中高三模拟)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
解析：根据给出的正(主)视图和侧(左)视图可知，该组合体由上、中、下三个几何体组合而成，由于正(主)视图和侧(左)视图中三层均为矩形，所以这些几何体可能是一些长方体、底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱组合而成的．而第⑤个俯视图中，有两处与已知不符，一是上层几何体的俯视图不正确，由于上层几何体的正(主)视图与侧(左)视图为两个相同的矩形，所以其俯视图中矩形的两边长应该相等；二是下层几何体的俯视图不正确，如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形，则在正(主)视图中底层的矩形应有一条中位线，这与已知不符合，所以⑤不可能，故选D.
答案：D
4．(2011·湖北)设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )
A．V1比V2大约多一半 B．V1比V2大约多两倍半
C．V1比V2大约多一倍 D．V1比V2大约多一倍半
解析：设球的内接正方体的边长为a，
球的半径为R，∴2R＝a，∴R＝a.
∴V1＝πR3＝π·a3＝πa3，
V2＝a3，∴V1＝πV2≈2.5V2，∴V1－V2≈1.5V2.
答案：D
5．(2011·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
解析：由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥
S底＝4×4＝16，S侧＝4××4×2＝16
∴S表面积＝S底＋S侧＝16＋16.
答案：B
6．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示．
∠ASC＝∠BSC＝45°
且OS＝OB＝OA＝OC＝2，
∴△SOB，△SOA为全等的等腰直角三角形，
且SC⊥OB，SC⊥OA，
又OA∩OB＝O，∴SC⊥平面AOB
又∵AB＝OB＝OA＝2，
∴△AOB为等边三角形
∴VS－ABC＝VS－AOB＋VC－AOB＝·S△AOB·SC＝××4＝.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．(2011·全国新课标版)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
解析：令球心为O，圆锥底面圆圆心为O′，球半径为R，圆锥底面圆半径为r，则·4πR2＝πr2，
∴r＝R，在Rt△AOO′中， OO′＝＝.
故＝＝.
答案：
8．(2011·洛阳市高三模拟)图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展形图内的概率是，则此长方体的体积是________．
解析：设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知＝，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.
答案：3
9．(2011·北京市海淀区高三第二学期练习)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________．
解析：依题意得三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积之比等于1.
答案：1
10．一个几何体的三视图如图所示，已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形，侧(左)视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
答案：
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·浙江省宁波市)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求二面角A－CF－B的余弦值；
(3)求多面体A－CDEF的体积．
解：
由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF＝4，
DE＝CF＝4，∠CBF＝.
(1)证明：连接BE，易知BE通过点M，连接CE.
则EM＝BM，CN＝BN，∴MN∥CE，又CE?平面CDEF，MN?平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.
(2)作BQ⊥CF于Q，连接AQ，
∵平面BFC⊥平面ABFE，平面ABFE∩平面BCF＝BF，AB?平面ABFE，AB⊥BF，∴AB⊥平面BCF，
又CF?平面BCF，∴AB⊥CF，又BQ⊥CF，AB∩BQ＝B，∴CF⊥平面ABQ，∵AQ?平面ABQ，∴AQ⊥CF，故∠AQB为所求二面角的平面角．
在Rt△ABQ中，tan∠AQB＝＝＝，则
cos∠AQB＝，故所求二面角的余弦值为.
(3)多面体A－CDEF的体积V＝2×VA－CEF＝2×VC－ABF＝2×S△ABF·BC＝.
12．(13分)(广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图(2)、(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)证明：直线BD⊥平面PEG.
分析：(1)根据正(主)视图和俯视图可以知道其侧(左)视图和正(主)视图是完全相同的；(2)根据两个视图给出的标记，这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40 cm、高为20 cm的长方体，上半部分四棱锥的高为60 cm，根据公式计算即可；(3)根据正四棱锥的性质进行证明．
解：
(1)该安全标识墩侧(左)视图如右图所示．
(2)该安全标识墩的体积
V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH
＝×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．
(3)
证明：如右图所示，连接HF、EG.由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又∵ABCD－EFGH为长方体，
∴BD∥FH.
设点O是EFGH的对称中心，连接PO.
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH?平面EFGH，
∴PO⊥FH.
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO?平面PEG，EG?平面PEG，
∴FH⊥平面PEG.
而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.
点评：解这类给出了直观图和三视图中的两个图形的题目，只要根据直观图得出另一个视图的形状，再根据给出的两个视图上标注的几何量，在第三个视图上标注上几何量即可．
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