高三数学二轮直线与圆

第十四讲直线与圆
命题要点：（1）两直线的平行与垂直；（2）两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式；（3）直线的倾斜角与斜率问题；（4）圆的方程；（5）圆与圆的位置关系；（6）直线与圆的位置关系。
命题趋势：从近两年高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．对圆方面考查：从近两年高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高了，因此也就成了高考命题的一个新热点．由于圆的特有性质，使其具有很强的交汇性（直线与圆的位置关系，圆与圆锥曲线），在高考中圆可以直接或间接地综合出现在许多问题之中，多以选择、填空题，难度为中档。
方法总结：
1.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用根与系数关系及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|
＝.
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
2. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
题型分析
类型一 直线方程
1．直线方程常用的三种形式
(1)点斜式　y－y0＝k(x－x0)，注意k的存在性；
(2)斜截式　y＝kx＋b，注意k的存在性；
(3)截距式　＋＝1，注意截距为0的形式．
2．直线与直线的位置关系的判定方法
(1)给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则有下列结论：
l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2?k1·k2＝－1；
(2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
[例1]　(2012年高考浙江卷)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　先求出两条直线平行的充要条件，再判断．
若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
[答案]　A
跟踪训练
（1）直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线方程是(　　)
A．2x＋11y＋38＝0　　　　 B．2x＋11y－38＝0
C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0
解析：因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38，故选B.
答案：B
（2）?(2011·北京东城模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.
[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a.
解析　由题意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6.
检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6.
答案　－2或4或6
（3）已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)．
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析　l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则
得即(1,0)、(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.
答案　B
类型二 圆的方程
1．标准方程：已知圆心(a，b)，半径r，
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
2．一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　(D2＋E2－4F>0)
其圆心(－，－)，半径r＝ .
[例2]　(2012年杭州五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，则△ABP的外接圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
[解析]　易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P、A、O、B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[答案]　D
跟踪训练
（1）(2012年长春高三摸底)已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)在(1)的条件下，若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值．
解析：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然只要5－m>0，即m<5时方程C表示圆．
(2)因为圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，其中m<5，所以圆心C(1，2)，半径r＝，
则圆心C(1，2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为
d＝＝＝，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以5－m＝()2＋()2，解得m＝4.
（2）?(2012·武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
[审题视点] 找出的几何意义，运用几何法求解．
解析　设＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由＝1，解得k＝±.
答案　；－
类型三 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断；
(2)若动直线恒过定点，且定点在圆内则动直线与圆必相交．
2．圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则|O1O2|>r1＋r2?两圆相离；
|O1O2|＝r1＋r2?两圆外切；
|r1－r2|<|O1O2||O1O2|＝|r1－r2|?两圆内切；
|O1O2|<|r1－r2|?两圆内含．
[例3]　(1)(2012年高考天津卷)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)
A．[1－，1＋ ]
B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2 ]
D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于(　　)
A．3 B．2
C. D．1
[解析]　(1)根据圆心到直线的距离是1得到m，n的关系式，再用基本不等式求解．
圆心(1，1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为＝1，所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2，所以m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
(2)利用弦心距、半弦长、半径长满足勾股定理求解．
圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝1.
∴|AB|＝2＝2＝2.
[答案]　(1)D　(2)B
跟踪训练
1．(2012年高考山东卷)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：比较两圆圆心距与两圆半径和差的大小关系进行判定．
两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2答案：B
2．由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是(　　)
A．(－1，1) B．(0，2) C．(－2，0) D．(1，3)
解析：根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知|PT|＝，故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，联立方程，解得点P的坐标为(0，2)．
答案：B
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】　(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【解析】　可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.
圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．
由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.
【答案】　
【名师点睛】　本题主要考查直线与圆．圆与圆的位置关系．解决此题的关键是结合题意转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2，从而求解．
考情展望
对于直线与圆在高考中主要考查圆的方程求法与直线与圆的位置关系的应用．多为选择、填空题，着重考查弦长问题、切线问题、有时涉及基本不等式求最值、难度中档．
名师押题
【押题】已知对于圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】　不等式x＋y＋m≥0恒成立等价于－m≤x＋y恒成立，等价于－m≤[x＋y]min，令t＝x＋y，由于点P在圆上，故圆心到直线y＝－x＋t的距离不大于圆的半径，即≤1，解得1－≤t≤1＋，即－m≤1－，故m ≥ －1.所以m的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】　[－1，＋∞)
经典例题
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A.　　　　　　 B.
C．[－，] D.
解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质．
如图，记题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝，于是有|MN|＝2|MD|＝2＝2 ≥2，
即4－≥3，解得－≤k≤.
答案：B
2．(2011·潍坊市)若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
解析：由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1，∵kOM＝2，∴kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案：B
3．(2011·日照市)若直线＋＝1经过点M(cosα，sinα)，则(　　)
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1
C.＋≤1 D.＋≥1
解析：由点M(cosα，sinα)可知，点M在圆x2＋y2＝1上，又直线＋＝1经过点M，所以≤1?a2＋b2≥a2b2，不等式两边同时除以a2b2得＋≥1，故选D.
答案：D
4．(2011·临沂市)已知直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，则与＋共线的向量为(　　)
A. B.
C．(－1，) D．(1，)
解析：根据题意||＝||＝1，故(＋)⊥，直线AB的斜率为－，故向量＋所在直线的斜率为，结合选项知，只有选项D符合要求．
答案：D
5．(2011·烟台市)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　)
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0
解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等，故可得a＝±2(舍负)，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0，故答案选C.
答案：C
6．(2011·山东省临沂市)已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：2＋2＝的切线，则此切线长等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为.由于点P到圆心C的距离为d＝ ＝，而圆C的半径为r＝，那么切线长为＝ ＝，故选C.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．圆心为原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
解析：本题考查了直线与圆的位置关系，在解题时应首先求得原点到直线的距离，即是圆的半径，写出圆的方程即可，题目定位于简单题．
由题意可知，原点到直线x＋y－2＝0的距离为圆的半径，即r＝＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
8．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
解析：本小题主要考查了直线与圆的知识，并且考查了圆关于直线对称的知识点．
由题可知kPQ＝＝1，又klkPQ＝－1?kl＝－1，圆关于直线l对称，找到圆心(2,3)的对称点(0,1)，又圆的半径不变，易得x2＋(y－1)2＝1.
答案：－1　x2＋(y－1)2＝1
9．(2011·临沂)已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中点为M(x0，y0)，且y0≥x0＋2，则的取值范围为________．
解析：如下图所示，点M在射线AB上，射线AB的方程为y＝－x－，点A的坐标是，根据的几何意义可知的取值范围是.
答案：
10．(2011·苏锡常镇)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是__________________．
解析：∵(x－a)2＋(y－a)2＝4，∴圆心坐标为(a，a)，半径为2，圆心在直线y＝x上，只需考察圆心与原点之间的距离，先画个单位圆，由于圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的半径为2，当a＝时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4内切，此时只有切点到原点的距离是1，当a＝时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4外切，此时也只有切点到原点的距离是1，而当答案：三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)已知，如图，⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.
(1)求实数a、b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时⊙P的方程．
解：(1)接接OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，
即(a2＋b2)－12＝(a－2)2＋(b－1)2.
化简得实数a、b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0.
(2)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.
|PQ|＝＝
＝＝ .
故当a＝时，|PQ|min＝，
即线段PQ长的最小值为.
(3)设⊙P的半径为R，⊙P与⊙O有公共点，
∵⊙O的半径为1，
∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，即R≥|OP|－1且R≤|OP|＋1.
而|OP|＝＝
＝ .
故当a＝时，|PO|min＝，此时b＝－2a＋3＝，Rmin＝－1.则半径取最小值时⊙P的方程为2＋2＝2.
12．(13分) ?(2012·福州调研)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
(1)若|AB|＝，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点．
(1)解　设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝，
又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.
设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，
则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．
从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
(2)证明　设点Q(q,0)，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.