高三数学二轮三角恒等变换与解斜三角形

第十讲三角变换与解三角形
命题要点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式；（2）倍角（半角）公式的应用：（3）公式的正用、逆用与恒等变换；（4） 正弦定理、余弦定理：（5）解斜三角形的综合运用。
命题趋势：三角恒等变换是高考重点考查的内容之一，主要考查三角函数的求值、化简及三角函数性质相结合的试题。重点考查正余弦定理，和差公式，半角倍角公式的正用与逆用，借助三角恒等变换等考查学生的计算能力，多数以客观题为主，难度中低档。而解斜三角形重点考查正余弦定理在斜三角形中的应用，通过三角形中边边关系、边角关系及相关公式的灵活运用来考查学生的分析问题的能力解决问题的能力以及计算能力，这类题多以简答题形式出现，难度中档。
方法总结:
三角恒等变换 ：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.
(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．
两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
题型分析：
类型一 三角变换及求值
1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．
2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝－；α可视为的倍角；±α可视为(±2α)的半角等．
3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
4．弦、切互化：一般是切化弦．
5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝，cos 2α＝，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin ±cos )2等．
6．角的合成及三角函数名的统一
asin α＋bcos α＝sin (α＋φ)，(tan φ＝)．
[例1]　(2012年高考广东卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos (α＋β)的值．
[解析]　(1)由T＝＝10π得ω＝.
(2)由
得整理得
∵α，β∈[0，]，
∴cos α＝ ＝，sin β＝ ＝.
∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.

跟踪训练
（1）(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos (α＋)＝，则sin (2α＋)的值为________．
解析：化2α＋为2(α＋)－是关键．
∵α为锐角且cos (α＋)＝，∴sin (α＋)＝.
∴sin (2α＋)＝sin [2(α＋)－]
＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin 
＝sin (α＋)cos (α＋)－[2cos 2(α＋)－1]
＝××－[2×()2－1]
＝－＝.
答案：
?已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
[审题视点] 拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．
解 ∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
点评：三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系
（3）?已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.
[审题视点] 由cos β＝cos[α－(α－β)]解决．
解 ∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.又∵cos(α－β)＝，
∵cos α＝，β＜α＜，
∴sin α＝＝
∴sin(α－β)＝＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0＜β＜.∴β＝.
点评：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
类型二 正、余弦定理的应用
1．正弦定理的变式
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
2．余弦定理的变式
a2＋c2－b2＝2accos B(注意整体变形)．
3．面积公式
SΔ＝absin C，SΔ＝(R为外接圆半径)；
SΔ＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[例2]　（1）(2012年高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[解析]　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，得sin B＝cos B.
所以tan B＝，得B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得
9＝a2＋c2－ac，
所以a＝，c＝2.
（2）(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解　(1)由2cos2 ＋cos A＝0，
得1＋cos A＋cos A＝0，
即cos A＝－，
∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝，
则a2＝(b＋c)2－bc，
又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，则bc＝4，
故S△ABC＝bcsin A＝.
点评：(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

跟踪训练
1．(2012年西安模拟)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则角A的大小为(　　)
A．150°　　　　　　　　　　B．90°
C．60° D．30°
解析：根据正弦定理得＝，∴sin A＝.
∵a答案：D
2．(2012年济南模拟)在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D．3
解析：设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
∵·＝|－|＝3，
∴bcos A＝a＝3.
又cos A＝≥1－＝1－，
∴cos A≥，∴0∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，
故△ABC面积的最大值为.
答案：B
类型三 解三角形的实际应用
1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等．
2．常见的类型：距离、高度、航海问题．
[例3]　(2012年石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
(参考数据：sin 38°＝，sin 22°＝.)
[解析]　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，
依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.

又由正弦定理得
sin ∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．

跟踪训练
如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG，使得H、G、B三点在同一条直线上．

请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h)
解析：如图，测出∠ACE的度数，测出∠ADE的度数，测量出HG的长度，即可计算出建筑物的高度AB.理由如下：
设∠ACE＝α，∠ADE＝β，HG＝s.
在△ADC中，由正弦定理得
＝，
所以AC＝.
在直角三角形AEC中，
AE＝ACsin α＝.
所以，建筑物的高AB＝EB＋AE＝h＋.
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】　(2012年高考江苏卷)在△ABC中，已知·＝3·.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若cos C＝，求A的值．
【解析】　(1)证明：因为·＝3·，
所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
即AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知
＝，
从而sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为00，cos B>0，
所以tan B＝3tan A.
(2)因为cos C＝，0所以sin C＝＝，
从而tan C＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，
即tan(A＋B)＝－2，
亦即＝－2.
由(1)得＝－2，
解得tan A＝1或tan A＝－.
因为cos A>0，所以tan A＝1，A＝.
【名师点睛】　本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化ACcos A＝3BCcos B为角的关系．(2)中注意判断A为锐角，否则会增解．
考情展望
高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合．二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量．
名师押题
【押题】已知向量m＝(cos ，)与向量n＝(，cos )共线，其中A，B，C是△ABC的三个内角．
(1)求角B的大小；
(2)求2sin 2A＋cos (C－A)的取值范围．
【解析】　(1)因为向量m＝(cos ，)与向量n＝(，cos )共线，所以cos cos ＝，即cos ＝±，
又0即B＝.
(2)由(1)知A＋C＝，所以C＝－A，
所以2sin 2A＋cos (C－A)
＝2sin 2A＋cos (－2A)
＝1－cos 2A＋cos 2A＋sin 2A
＝1＋sin (2A－)，
因为0所以sin (2A－)∈(－，1)，
所以1＋sin (2A－)∈(，2)，
故2sin 2 A＋cos (C－A)的取值范围是(，2)．
经典作业
1．(2010·新课标文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　B.
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．
由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.
2．(2011·济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)
A．0 B.
C. D．1
[答案]　D
[解析]　sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.
3. (2008·安徽)在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)
A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
[答案]　A
[解析]　cos∠BAC＝＝－.
∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝.
4. (2010·天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案]　A
[解析]　由余弦定理得：cosA＝，
由题知b2－a2＝－bc，c2＝2bc，则cosA＝，
又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.
5. ．(2011·福建)若tan α＝3，则的值等于( )．
A．2 B．3 C．4 D．6
解析 ＝＝2tan a＝2×3＝6，故选D.
答案 D
6. (2011·辽宁)设sin＝，则sin 2θ＝( )．
A．－ B．－ C. D.
解析 sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
答案 A
7. (人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)．
A．5 B．10
C. D．5
解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得：＝，
即＝.∴c＝.
答案　C
8. (2011·郑州联考)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析　由余弦定理得：cos A＝＝＝，
∵0＜A＜π，∴A＝60°.
答案　C
9. ．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
A．50 m B．50 m C．25 m D. m
解析 由正弦定理得＝，又∵B＝30°
∴AB＝＝＝50(m)．
答案 A
10. (2011·江苏)已知tan＝2，则的值为________．
解析：tan＝＝2，∴tanx＝，
tan2x＝＝，
则＝＝.
答案：
11．(2011·上海)函数y＝sincos的最大值为________．
解析：y＝cosx·＝cos2x＋sinx·cosx＝·＋sin2x
＝cos2x＋sin2x＋＝sin＋.
故ymax＝＋.
答案：＋
12．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
解析：(a＋2b)·(a－b)＝－2
∴a2＋a·b－2b2＝－2
∵|a|＝2，|b|＝2，
∴4＋a·b－8＝－2，∴a·b＝2
∴cosθ＝＝＝，0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：
13．(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设＝
2，＝3，则·＝________.
解析：∵＝2，∴D为BC中点．
∵＝3，∴E为AC边上距C近的一个三等分点．
∴＝(＋)，＝－＝－.
又||＝||＝1，与夹角为60°，
∴·＝(＋)·
＝
＝
＝＝－.
答案：－
14(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)f＝2sin＝2sin＝2sin＝.
(2)∵f＝2sin
＝2sinα＝，
∴sinα＝，又α∈，∴cosα＝，
∵f(3β＋2π)＝2sin＝2sin
＝2cosβ＝，
∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
15. (2011·湖北)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cosC＝.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．
解：(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4.
∴c＝2
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝ ＝.
∴sinA＝＝＝.
∵a∴cosA＝＝ ＝.
∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.