北师大版九年级数学下册同步练习第2章 二次函数复习题（word版 含解析）

北师大版九年级数学下册同步练习 第2章 二次函数 复习题
一、单选题
1．将二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k＝﹣时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知二次函数(其中，，)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．
以上说法正确的有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜3，以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
5．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．如图，二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x．其中正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
9．在平面直角坐标系中，先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．小红同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时，随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．二次函数的图像如图所示，则下列结论：① abc<0；②③④⑤对称轴为，其中正确结的确序号是_____．
12．函数y＝(m＋2)＋2x－1(x≠0)，当m＝___时，它是二次函数，当m＝_________时，它为一次函数．
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t﹣，y1），（t+，y2）在抛物线上，则当t＞时，y1＞y2；④b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）．其中一定正确的是 ___．
14．二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30°，则点C的坐标为_______．
15．关于抛物线，给出下列结论：
①当时，抛物线位于x轴的上方；
②若抛物线的顶点坐标为，则；
③与对应的函数值相等；
④当时，抛物线与x轴一定有一个交点在点和点之间．
其中正确结论的序号为______．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
三、解答题
17．用适当法解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
18．某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．
每天的定价x（元/间） 208 228 268 …
每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 …
(1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
(2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．
19．某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米） 0 0.5 2.0 3.5 5
h（米） 1.67 2. 25 3.00 2. 25 0
请解决以下问题：
(1)在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是______米；
(3)求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；
(4)现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面的高度为2.5米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到水柱．请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由．
20．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元．
(1)求该厂计划每天生产A产品和B产品各多少件？
(2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为ω元．
①求总利润ω的最大值；
②若每生产一件环保产品，政府给予a元的补贴，要使该厂每日利润不少于17200元，试求a的最小值．
21．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”可知平移后的函数关系式，再求出其顶点坐标即可；
【详解】
∵二次函数 向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为： ，
∴　平移后的二次函数的顶点坐标为：(0，4)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移变换以及求顶点坐标，正确掌握知识点是解题的关键；
2．B
【解析】
【分析】
（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）=16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2=BO BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB=2，当k=0时，取得最小值为4，故正确．
【详解】
设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=x2﹣2与y=kx得：x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，
∴m+n=3k，mn=﹣6．
设直线PA的解析式为y=ax-4，将A（m，km）代入得：
，
解得a=，
∴y=x﹣4．
令y=0，得x=，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵+===0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．
假设结论：PO2=PA PB成立，即PO2=PA′ PB，
∴，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
∵A（m，km），B（n，kn），
∴，
∴OB=OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴，
∴PB=PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）
=（PA+AO）[PA﹣（OA）]
=（PA+AO）（PA﹣OA）
=（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km．
∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=（m+n），
∴PA2﹣AO2=8 （m+n） m+16=m2+mn+16=m2+×（﹣6）+16=m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA2﹣AO2）= m2=﹣mn=﹣×（﹣6）=16,
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k=时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2=12，BO BA=2×6=12，
∴BP2=BO BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP （﹣m）+OP n
=OP （n﹣m）
=2（n﹣m）
=2
=2，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2=4．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
【点评】
本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
3．C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象与系数的关系逐个判断即可．
【详解】
解：∵ ，，
∴ 抛物线开口向上，，因此抛物线顶点在y轴的左侧，不可能在第四象限；又，
∴，抛物线与x轴交于原点的两侧，
因此①③是正确的，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴方程、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
利用抛物线开口向上得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），则x＝﹣2时，y＜0，可对②进行判断；利用二次函数的性质和A、B、C点到直线x＝1的距离大小可对③进行判断；把m、n看作二次函数y＝a（x﹣3）（x+1）与直线y＝2的交点的横坐标，结合函数图象可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，点B（，y2）到直线x＝1的距离最近，点C（﹣2，y3）到直线x＝1的距离最远，
∴y3＜y1＜y2，
故③正确；
∵m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，
∴把m、n看作二次函数y＝a（x﹣3）（x+1）与直线y＝2的交点的横坐标，
∴﹣1＜m＜n＜3，
故④正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，系数、式子的符号等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．A
【解析】
【分析】
根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．
【详解】
解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．
6．D
【解析】
【分析】
根据函数的基本性质：开口方向、与轴的交点坐标、对称轴等来对①②③④进行判断，从而求解．
【详解】
解：①由题意函数的图象开口向下，与轴的交点大于，
，，
函数的对称轴为，
，
，
，正确；
②由函数图象知函数与轴交于点为、，正确；
③由函数图象知，当，随的增大而减小，正确；
④由函数图象知，当时，，正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查函数的性质，函数的对称轴，函数的增减性及其图象，还考查了一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题．
7．C
【解析】
【分析】
①由顶点坐标为（1， 4a），可得出对称轴x＝1，结合对称轴公式可得出2a＋b＝0，故①错误；②根据二次函数的对称性可知，x＝ 2和x＝4对应的函数值相等，即可判断②正确；③根据二次函数的对称性可知，若y2＞y1，则x2＞4或 x2＜ 2，故③错误；④根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1， 4a），求出b＝ 2a，c＝ 3a，结合图象可知若0≤x2≤4，则 4a≤y2≤5a，故④正确．
【详解】
解：①二次函数的图象的顶点坐标为（1， 4a），
∴函数图象的对称轴为：x＝ ＝1，
∴b＝ 2a，
∴2a＋b＝0，故①错误；
②由①知，函数图象的对称轴为：x＝1，
根据二次函数的对称性可知，
x＝ 2和x＝4对应的函数值相等，
∴当x＝ 2时，y＝4a 2b＋c＞0，故②正确；
③根据二次函数的对称性可知，x＝ 2和x＝4对应的函数值相等，
∴点A（4，y1）关于x＝1对称的点的坐标为（ 2，y1），
∴当y2＞y1时，x2＞4或x2＜ 2，故③错误；
④由①知b＝ 2a，且当x＝1时，y＝ 4a，
∴ 4a＝a＋b＋c，
∴ 4a＝a 2a＋c，
∴c＝ 3a，
∴y＝ax2 2ax 3a（a≠0），
结合图象可知，若0≤x2≤4，则当x＝1时，y2取最小值，
当x＝4时，y2取最大值，
∵当x＝1时，y2＝ 4a，
当x＝4时，y2＝5a，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵x＝1时，y＝5，
∴a＜0，
∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴ac＜0，故①正确，
②∵抛物线的对称轴x＝，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误，
∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∴9a+3（b﹣1）+c＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确．
∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a﹣（b﹣1）+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【详解】
解：先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，可得新抛物线为；再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，可得新抛物线为，
故选A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论．
【详解】
解：列表：
1 2 3 4
5 4 5 5 4 5
画出函数图象如图，
观察图象：
①该函数有最小值，符合题意；
②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意；
③当时，随的增大而增大，不合题意；
④该函数图象关于轴对称，符合题意；
⑤令，整理得或，
∵b2-4ac，
∴两个方程均有两个不相等的实数根，即共有四个根，且这四个根互不相等．
∴直线与该函数图象有四个交点，不符合题意，
综上，以上结论正确的有：①②④，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，函数的增减性，解题的关键是图象与x轴的交点，函数的极值充分利用函数的图象，利用数形结合的思想．
11．①②⑤
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】
解:根据题中二次函数的图像，可知抛物线图像开口向上，即，
与y轴交于负半轴，即，
抛物线与x轴的交点是，
∴对称轴是直线，故⑤正确；
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴故②正确；
当x=1时，y=a+b+c=0，故④错误；
当x=-2时，由图像可知，y=4a-2b+c<0,故③错误，
故答案为：①②⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图像的关系，运用数形结合的思想解题是关键．
12． 2， ±或－2
【解析】
【详解】
试题分析：令m2－2＝2，得m＝2或－2，
∵m＋2≠0，m≠－2，
∴m＝2，
即m＝2时是二次函数；
当m＝－2时，y＝2x－1，是一次函数，
当m2－2＝1，即m＝时，是一次函数，
即m＝或－2时，是一次函数．
故答案为2；或－2．
13．①②④
【解析】
【分析】
根据二次函数开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴，二次函数的对称轴为直线，即可判断二次函数三个系数的符号，从而判断①；根据二次函数经过点（-1，0），即可得到即，从而判断②；根据二次函数开口向上，则离对称轴越远函数值越小即可判断③；根据二次函数开口向上，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，，由此即可判断．
【详解】
解：由函数图像可知，二次函数开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴，，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴即，
∴，故①正确；
∵二次函数经过点（-1，0），
∴即，故②正确；
∵点，在抛物线上，
∴当即时，（此处可以这样理解，这两个点的中点更靠近点，则点离对称轴近），故③不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最小值，，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，根据二次函数图像判断式子符号，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．
14．（﹣）
【解析】
【分析】
连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得2t2=t，得出BD=，OD=，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
【详解】
解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=BD，
设BD=t，则OD=t，
∴B（t，t），
把B（t，t）代入y=2x2得2t2=t，解得t1=0（舍去），t2=，
∴BD=，OD=，
故C点坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题关键．
15．①②③④
【解析】
【分析】
首先可根据抛物线解析式求出对称轴，且一定过 ，①根据开口方向及与 轴交点个数即可判断；②根据对称轴可得顶点坐标，代入函数解析式即可求出 值；③根据抛物线的对称性即可判断；④根据开口方向，对称轴，与 轴的交点个数即可判断．
【详解】
解：抛物线，
对称轴，
①令，则，
△，
，
△，
抛物线开口向上，与轴无交点，
即当时，抛物线位于轴的上方；故①正确；
∵对称轴为x=1，顶点为（m，3），则，
顶点坐标为，
将代入得：
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为，
与对应的函数值相等；故③正确；
当时，抛物线的开口向上，且△，
抛物线与轴产生两个交点，
又抛物线一定过，对称轴为x=1，
当时，抛物线与轴一定有一个交点在点和点之间，故④正确．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与性质，能够根据二次函数的性质数形结合是解决问题的关键．
16．①③④
【解析】
【分析】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.
【详解】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
① ，则，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.
17．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用开平方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）整理后利用因式分解法求解即可；
（5）利用十字相乘法求解即可．
【详解】
解：（1），
∵，
∴，
即；
（2）两边同时除以2得：，
开平方得：，
即，，
即；
（3）原方程可化为：，
即，
即，
即；
（4）整理得，
即，
即；
（5）利用十字相乘法因式分解得：，
即或，
解得．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的几种方法，并能灵活运用是解题关键．
18．(1)168
(2)宾馆应将房间定价确定为256或260元
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求出y关于x的一次函数解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
(1)
设y=kx+b，
由题意得： ，
解得： ，
∴y=x-42，
当y=0时，x-42=0，
解得：x=168，
答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完．
(2)
设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y）-5000
=（x-28）[80-（x-42）]-5000
=-x2+129x-8416
=-（x-258）2+8225，
∵当x=258时，y=×258-42=22.5，不是整数，
∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式及二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
19．(1)见解析
(2)3
(3)（0≤x≤5）
(4)船能符合要求通过，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，描点顺次顺滑连线；
（2）根据抛物线的最高点（2,3）得出结论；
（3）根据抛物线的顶点为（2,3），设解析式为，再把（5,0）代入求出a的值；
（4）使船的中轴线在抛物线的对称轴上，把点（1，m）代入解析式计算m的值，与2.5比较大小，得出结论
(1)
(2)
根据图象看出，水流最高点距离湖面的高度是3米；
故答案为3；
(3)
设抛物线的解析式为，
将（5,0）代入，得，
，
解得，，
∴（0≤x≤5），
(4)
符合要求，理由：
设船的横断面为矩形ABCD，行驶时使船的中轴线在抛物线形水流的对称轴上，设直线AB与抛物线交点为E(1,m)，则
，
符合要求
【点睛】
本题主要考查了二次函数的表示法，由表格法转换为图象法与解析法，解题的关键是描点，顺次光滑连线，根据表格中数据特点熟练运用待定系数法求解析式，同时能够准确看出顶点，根据对称性处理行船问题
20．(1)每天生产A产品30件，生产B产品20件；
(2)①总利润ω的最大值为16250元；②a的最小值19
【解析】
【分析】
（1）设每天生产A产品a件，则每天生产B产品（50﹣a）件，由题意列出方程可得答案；
（2）①根据题意列出函数解析式，由二次函数的性质求最值；②根据该厂每日利润不少于17200元列出不等式，然后由（x﹣5）2≥0，得出﹣95+5a≥0，解不等式即可．
(1)
解：设每天生产A产品a件，则每天生产B产品（50﹣a）件，
由题意得：500（50﹣a）﹣200a＝4000，
解得a＝30，
50﹣30＝20（件），
∴每天生产A产品30件，生产B产品20件；
(2)
①由题意得，
ω＝（500﹣10x）（20+x）+200（30﹣x）＝﹣10x2+100x+16000＝﹣10（x﹣5）2+16250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝5时，w有最大值，最大值为16250，
∴总利润ω的最大值为16250元；
②由题意得：ω＝﹣10x2+100x+16000+50a，
∵该厂每日利润不少于17200元，
﹣10x2+100x+16000+50a≥17200，
则﹣10x2+100x+16000+50a≥17200，
﹣10x2+100x≥1200﹣50a，
x2﹣10x≤﹣120+5a，
x2﹣10x+25≤﹣120+5a+25，
（x﹣5）2≤﹣95+5a，
∵（x﹣5）2≥0，
∴﹣95+5a≥0，
解得：a≥19，
∴a的最小值19．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，一元一次方程的应用；解题的关键是根据题意列出关系式并熟练掌握二次函数的图象性质．
21．（1）（﹣6，0），（0，3）；（2）y＝﹣x+3，（3，0）；（3）选A，存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；选B，存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【解析】
【分析】
（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝ x＋b即可求解；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，设点P（x，x+3），则PH＝，根据S△ACP＝AC PH＝18可得PH的值，即可求解．
B．过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．设点P（x，x+3），则Q（x， x＋3），根据PQ＝BC列方程求解即可．
【详解】
解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC PH＝×9 PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝，
∵PQ＝BC，
∴，解得：x＝或﹣，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
22．(1)y＝﹣x2﹣4x+5
(2)N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）
(3)F（﹣，﹣）
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求抛物线的解析式．
（2）分NB=ND和DB=ND两种情况求点N的坐标．
（3）利用相似，将线段长度转换为点的坐标，通过方程求点F的坐标．
(1)
解：将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；
(2)
∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1（﹣5，0），
②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，
BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，
∴sin∠IQB＝＝，
∵I是BD的中点，BD＝3，
∴BI＝，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，0），I（，）
设yQI＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴yQI＝，
联立得：，
解得：x＝，
∴yQI＝，
N2（，），N3（，），
方法二：如图2，
过点N作DS⊥NT交NT于点S，设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），
∵DN＝DB，
∴DS2+SN2＝NT2+TB2，
∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，
（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，
（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），
解得：a＝，
把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，
∴N2（，），N3（，），
综上所述，N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；
(3)
如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，
设F（m，﹣﹣），
则OP＝﹣m，PF＝+，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，
∴PM＝PF＝×＝m+，
∴GP＝m+，
∴GR＝2PG＝m+，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，
∴OR＝，
∴H（，m+5），
∵B（1，0），D（﹣2，9），
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+3，
把H代入上式并解得：m＝﹣，
再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，
∴F（﹣，﹣）．
【点睛】
本题考查二次函数解析式的求法、等腰三角形的存在性问题、角度问题及线段倍数问题．正确求出二次函数解析式，将坐标运算转化成线段关系是求解本题的关键．