2017-2021年高考数学全国甲卷（原全国卷3）三角函数与解三角形汇编（文理）
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
2．（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得，
在△BCM中，由正弦定理得，
则，解得，
得A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
3．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
4．（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
5．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
7．（2020·新课标Ⅲ·理）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
8．（2019·全国Ⅲ卷理）设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】 【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数 的性质得到③④正确，即可得结论.
9．（2018·全国Ⅲ卷理） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
10．（2018·全国Ⅲ卷理）若 ，则 =（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
11．（2017·新课标Ⅲ卷理）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（ ，π）单调递减
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选：D
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
12．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵sinα﹣cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ，
∴sin2α=﹣ ，
故选：A．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
13．（2017·新课标Ⅲ卷文）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ）
= sin（x+ ） ．
故选：A．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
14．（2016·新课标Ⅲ卷理）若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：∵tanα= ， ∴cos2α+2sin2α= = = = ．
故选：A．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
15．（2016·新课标Ⅲ卷理）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，∴BD=AD= a，CD= a，在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ．
故选：C．
【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
二、填空题
16．（2021·全国甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为 。
【答案】2
【知识点】一元二次不等式及其解法；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入，得
则，
所以
所以
等价于
则或
由图象得最小整数，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
17．（2020·新课标Ⅲ·理）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
18．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 在 的零点个数为 ．
【答案】3
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】 ，因为
则 共三个零点，填3
【分析】先求出 整体范围，再在该范围内余弦值为零的零点共三个.
19．（2017·新课标Ⅲ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A= ．
【答案】75°
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，
∴sinB= = ，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
三、解答题
20．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
21．（2017·新课标Ⅲ卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= AC AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB AC sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
1 / 12017-2021年高考数学全国甲卷（原全国卷3）三角函数与解三角形汇编（文理）
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
3．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
5．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·新课标Ⅲ·理）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
8．（2019·全国Ⅲ卷理）设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
9．（2018·全国Ⅲ卷理） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·全国Ⅲ卷理）若 ，则 =（ ）
A． B． C．- D．-
11．（2017·新课标Ⅲ卷理）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（ ，π）单调递减
12．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
13．（2017·新课标Ⅲ卷文）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
14．（2016·新课标Ⅲ卷理）若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ）
A． B． C．1 D．
15．（2016·新课标Ⅲ卷理）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
二、填空题
16．（2021·全国甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为 。
17．（2020·新课标Ⅲ·理）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
18．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 在 的零点个数为 ．
19．（2017·新课标Ⅲ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A= ．
三、解答题
20．（2019·全国Ⅲ卷理）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
21．（2017·新课标Ⅲ卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
2．【答案】B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得，
在△BCM中，由正弦定理得，
则，解得，
得A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
3．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
4．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】 【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数 的性质得到③④正确，即可得结论.
9．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
10．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
11．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选：D
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
12．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵sinα﹣cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ，
∴sin2α=﹣ ，
故选：A．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
13．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ）
= sin（x+ ） ．
故选：A．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
14．【答案】A
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】解：∵tanα= ， ∴cos2α+2sin2α= = = = ．
故选：A．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
15．【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，∴BD=AD= a，CD= a，在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ．
故选：C．
【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
16．【答案】2
【知识点】一元二次不等式及其解法；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入，得
则，
所以
所以
等价于
则或
由图象得最小整数，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
17．【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
18．【答案】3
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】 ，因为
则 共三个零点，填3
【分析】先求出 整体范围，再在该范围内余弦值为零的零点共三个.
19．【答案】75°
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，
∴sinB= = ，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
20．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；（2）利用正弦定理列式，结合△ABC为锐角三角形得到 ，即可求出△ABC面积的取值范围．
21．【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= AC AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB AC sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
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